Dane:

Wypisujemy dane podane w zadaniu:

$d_1=8cm=0,08m$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ gęstość gliceryny: ${\rho }_{\text{gl}}=1260\frac{kg}{m^3}$ ,

▶ gęstość oliwy: ${\rho }_{\text{ol}}=800\frac{kg}{m^3}$ ,

▶ gęstość oleju słonecznikowego: ${\rho }_{\text{os}}=920\frac{kg}{m^3}$ .

 

$\text{a)}$  

Szukane:

$h=\text{?}$  

Rozwiązanie:

W U-rurce znajduje się gliceryna oraz oliwa. Znamy wysokość słupa gliceryny nad wspólnym poziomem cieczy.

gdzie:

• niebieski to gliceryna,
• żółty to oliwa.

Ciśnienie hydrostatyczne przedstawiamy wzorem:

$p=\rho gh$  

gdzie:

$p$  - ciśnienie hydrostatyczne,

$\rho$  - gęstość cieczy,

$g$  - wartość przyspieszenia ziemskiego,

$h$  - wysokość słupa cieczy.

Zatem ciśnienie gliceryny oraz oliwy na wspólnym poziomie cieczy wynosi:

$p_{\text{gl}}={\rho }_{\text{gl}}g{d}_1$  

$p_{\text{ol}}={\rho }_{\text{ol}}gh$  

Ciśnienie te na tych poziomach są takie same, czyli wysokość słupa oliwy będzie wynosiła:

$p_{\text{ol}}=p_{\text{pl}}$  

${\rho }_{\text{ol}}\cancel{g}h={\rho }_{\text{gl}}\cancel{g}{d}_1\mid :{\rho }_{\text{ol}}$  

$h=\frac{{\rho }_{\text{gl}}}{{\rho }_{\text{ol}}}{d}_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$h=\frac{1260\frac{kg}{m^3}}{800\frac{kg}{m^3}}\cdot 0,08m=1,575\cdot 0,08m=$  

$=0,126m=12,6cm$  

Odpowiedź: Wysokość słupa oliwy wynosi 12,6 cm.

 

$\text{b)}$  

Ponieważ gęstość gliceryny jest największa to gliceryna będzie u dołu U-rurki, a w ramionach będą znajdowały się takle ciecze jak oliwa i olej słonecznikowy:

gdzie:

• niebieski to gliceryna,
• żółty to oliwa,
• pomarańczowy to olej słonecznikowy.

 

$\text{c)}$  

Szukane:

$x=\text{?}$  

$H=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Korzystając z rysunku możemy zauważyć, że:

$H=h+x$  

Ciśnienie hydrostatyczne słupa oleju słonecznikowego będzie miało postać:

$p_{\text{os}}={\rho }_{\text{os}}gH$  

Jest to ciśnienie w lewym ramieniu U-rurki:

$p_{\text{lewo}}=p_{\text{os}}$  

Ciśnienie na tym samym poziomie w drugim ramieniu U-rurki będzie sumą ciśnień pochodzących od oliwy oraz gliceryny. Zatem jeżeli:

$p_{\text{ol}}={\rho }_{\text{ol}}gh$  

$p_{\text{gl}}={\rho }_{\text{gl}}gx$  

To mamy:

$p_{\text{prawo}}=p_{\text{ol}}+p_{\text{gl}}$  

Ciśnienia w obu ramionach na tym samym poziomie muszą być wyrównane, czyli otrzymujemy równanie, z którego wyznaczmy wysokość różnicy poziomów gliceryny w obu ramionach U-rurki:

$p_{\text{prawo}}=p_{\text{lewo}}$  

$p_{\text{ol}}+p_{\text{gl}}=p_{\text{os}}$  

${\rho }_{\text{ol}}gh+{\rho }_{\text{gl}}gx={\rho }_{\text{os}}gH\mid :g$  

${\rho }_{\text{ol}}h+{\rho }_{\text{gl}}x={\rho }_{\text{os}}\left(h+x\right)$  

${\rho }_{\text{ol}}h+{\rho }_{\text{gl}}x={\rho }_{\text{os}}h+{\rho }_{\text{os}}x\mid -{\rho }_{\text{ol}}h-{\rho }_{\text{os}}x$  

${\rho }_{\text{gl}}x-{\rho }_{\text{os}}x={\rho }_{\text{os}}h-{\rho }_{\text{ol}}h$  

$\left({\rho }_{\text{gl}}-{\rho }_{\text{os}}\right)x=\left({\rho }_{\text{os}}-{\rho }_{\text{ol}}\right)h\mid :\left({\rho }_{\text{gl}}-{\rho }_{\text{os}}\right)$  

$x=\frac{{\rho }_{\text{os}}-{\rho }_{\text{ol}}}{{\rho }_{\text{gl}}-{\rho }_{\text{os}}}h$  

Korzystając z wyznaczonego wzoru na wysokość $h$  z podpunktu a):

$h=\frac{{\rho }_{\text{gl}}}{{\rho }_{\text{ol}}}{d}_1$  

mamy:

$x=\frac{{\rho }_{\text{os}}-{\rho }_{\text{ol}}}{{\rho }_{\text{gl}}-{\rho }_{\text{os}}}\frac{{\rho }_{\text{gl}}}{{\rho }_{\text{ol}}}{d}_1$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{920\frac{kg}{m^3}-800\frac{kg}{m^3}}{1260\frac{kg}{m^3}-920\frac{kg}{m^3}}\cdot \frac{1260\frac{kg}{m^3}}{800\frac{kg}{m^3}}\cdot 0,08m=$  

$=\frac{120\frac{kg}{m^3}}{340\frac{kg}{m^3}}\cdot \frac{63}{\underset{5}{\sout{40}}}\cdot \frac{\stackrel{1}{\sout{8}}}{100}m=\frac{\stackrel{3}{\sout{6}}}{17}\cdot \frac{63}{5}\cdot \frac{1}{\underset{50}{\sout{100}}}m=$  

$=\frac{3}{17}\cdot \frac{63}{5}\cdot \frac{1}{50}m=\frac{189}{4250}m\approx$  

$\approx 0,04447m\approx 4,4cm$  

Zatem wysokość słupa oleju słonecznikowego będzie wynosiła:

$H=h+x$  

$H\approx 12,6cm+4,4cm$  

$H\approx 17\text{cm}$  

Odpowiedź: Wysokość słupa oleju wynosi około 17 cm, a różnica poziomów gliceryny w obu ramionach wynosi około 4,4 cm.