$A.$  

Wyprowadzamy wzór wyrażający stosunek momentów bezwładności dla dwóch położeń klamerek.

Mamy dwa przykładu układów klamerek w ruchu obrotowym. Wiemy, że podczas obu pomiarów średni moment sił był taki sam. Skorzystamy z:

II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy: $I\epsilon =M$ gdzie: $I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,  $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,  $M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

Dla pierwszego przypadku zapiszemy:

$I_1{\epsilon }_1=M$

Dla drugiego przypadku zapiszemy:

$I_2{\epsilon }_2=M$

Możemy zapisać:

$I_1=\frac{M}{{\epsilon }_1}$

$I_2=\frac{M}{{\epsilon }_2}$

Szukany stosunek będzie dany jako:

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{\frac{\cancel{M}}{{\epsilon }_1}}{\frac{\cancel{M}}{{\epsilon }_2}}$

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}$

Wyrażamy odpowiednio przyspieszenia kątowe podczas obrotów.

WARTOŚĆ PRZYSPIESZENIA KĄTOWEGO Poprzez analogie do ruchu postępowego wartość przyspieszenia kątowego zgodnie z definicją przyspieszenia możemy przedstawić zależnością: $\epsilon =\frac{\Delta \omega }{\Delta t}$ gdzie: $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego, $\Delta \omega$ - zmiana szybkości kątowej ciała,  $\Delta t$ - czas, w jakim ta zmiana następuje.

Układ rozpędza się od zerowej prędkości. Zmianę wartości prędkości wyrazimy jako:

$\Delta \omega =\omega -0$

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej rozpędzonego układu.

$\Delta \omega =\omega$

Nasze przyspieszenie kątowe przyjmie wartość:

$\epsilon =\frac{\omega }{t}$

Wyrażamy wartość prędkości kątowej.

WARTOŚĆ PRĘDKOŚCI KĄTOWEJ Wartość prędkości kątowej ciała w ruchu po okręgu możemy przedstawić za pomocą wzoru: $\omega =\frac{2\pi }{T}$ gdzie: $\omega$ - szybkość kątowa ciała,  $\pi$ - liczba pi,  $T$ - okres ruchu tego ciała.

Stąd:

$\epsilon =\frac{\frac{2\pi }{T}}{t}$

$\epsilon =\frac{2\pi }{tT}$

Mierzymy czas trzech obrotów, zatem:

OKRES Okres jest czasem trwania jednego cyklu, czyli możemy go przedstawić jako: $T=\frac{t}{n}$ gdzie: $T$ - okres,  $t$ - całkowity czas trwania cykli, $n$ - liczba cykli.

W naszym przypadku okres obrotu będzie równy:

$T=\frac{t}{3}$

Otrzymujemy:

$\epsilon =\frac{2\pi }{t\frac{t}{3}}$

$\epsilon =\frac{6\pi }{t^2}$

Zatem dla poszczególnych przypadków obrotu klamerek mamy:

${\epsilon }_1=\frac{6\pi }{t_1^2}$

oraz:

${\epsilon }_2=\frac{6\pi }{t_2^2}$

Wracamy do szukanego stosunku momentów bezwładności:

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}$

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{\frac{\cancel{6\pi }}{t_2^2}}{\frac{\cancel{6\pi }}{t_1^2}}$

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{t_1^2}{t_2^2}$

$\frac{I_1}{I_2}={\left(\frac{t_1}{t_2}\right)}^2$

 

$B.$  

Przyjmujemy, że długość patyczka wynosi $l$ . Zauważmy, że w pierwszym przypadku odległość każdej klamerki od osi obrotu wynosi:

$r_1=\frac{1}{2}l$  

Natomiast w drugim przypadku wynosi ona:

$r_2=\frac{1}{2}{r}_1$  

$r_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}l$  

$r_2=\frac{1}{4}l$  

Przyjmujemy, że masa jednej klamerki wynosi $m$ .

MOMENT BEZWŁADNOŚCI - PUNKT MATERIALNY Moment bezwładności ciała punktowego obracającego się wokół pewnej osi ma postać: $I=m{r}^2$ gdzie: $I$ - moment bezwładności punktu materialnego, $m$ - masa ciała, $r$ - odległość ciała od osi obrotu.

Zatem, jeżeli potraktujemy klamerki jako punkty materialne, to dla pierwszego układu moment bezwładności jednej klamerki wynosi:

$I_{0.1}=m{r}_1^2$  

$I_{0.1}=m{\left(\frac{1}{2}l\right)}^2$  

$I_{0.1}=m\cdot \frac{1}{4}{l}^2$  

$I_{0.1}=\frac{1}{4}m{l}^2$  

Korzystamy z addytywności momentów bezwładności. Wówczas moment bezwładności układu dla pierwszego układu klamerek ma postać:

$I_1=I_{0.1}+I_{0.1}$  

$I_1=2\cdot I_{0.1}$  

$I_1=2\cdot \frac{1}{4}m{l}^2$  

$I_1=\frac{1}{2}m{l}^2$  

Dla drugiego przypadku moment bezwładności pojedynczej klamerki będzie wynosił:

$I_{0.2}=m{r}_2^2$  

$I_{0.2}=m{\left(\frac{1}{4}l\right)}^2$  

$I_{0.2}=m\cdot \frac{1}{16}{l}^2$  

$I_{0.2}=\frac{1}{16}m{l}^2$  

Wówczas moment bezwładności układu dla drugiego układu klamerek ma postać:

$I_2=I_{0.2}+I_{0.2}$  

$I_2=2\cdot I_{0.1}$  

$I_2=2\cdot \frac{1}{16}m{l}^2$  

$I_2=\frac{1}{8}m{l}^2$  

Obliczamy iloraz momentów bezwładności:

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{\frac{1}{2}\cancel{m{l}^2}}{\frac{1}{8}\cancel{m{l}^2}}$

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{8}{2}$  

$\frac{I_1}{I_2}=4$  

 

$C.$  

Obliczamy wartości średnie czasów zmierzonych w doświadczeniu:

$t_1=\frac{4,22+4,25+4,15+4,18}{4}\text{s}=$  

$=\frac{16,80}{4}\text{s}=4,20\text{s}$  

$t_2=\frac{2,12+2,14+2,08+2,06}{4}\mathrm{s}=$  

$=\frac{8,40}{4}\mathrm{s}=2,10\mathrm{s}$  

Sprawdzamy związek:

$\frac{I_1}{I_2}={\left(\frac{4,20\text{s}}{2,10\text{s}}\right)}^2=2^2=4$  

Wyznaczmy niepewności pomiarowe.

Wyznaczmy skrajne wartości dla ilorazów:

${\left(\frac{I_1}{I_2}\right)}_{\text{min}}={\left(\frac{t_{\text{1min}}}{t_{\text{2max}}}\right)}^2={\left(\frac{4,15\text{s}}{2,14\text{s}}\right)}^2\approx {\left(1,94\right)}^2\approx 3,76$  

${\left(\frac{I_1}{I_2}\right)}_{\text{max}}={\left(\frac{t_{\text{1max}}}{t_{\text{2min}}}\right)}^2={\left(\frac{4,25\text{s}}{2,06\text{s}}\right)}^2\approx {\left(2,06\right)}^2\approx 4,24$  

Z tego wynika, że niepewność pomiaru wynosi:

$\Delta \left(\frac{I_1}{I_2}\right)=\frac{{\left(\frac{I_1}{I_2}\right)}_{\text{max}}-{\left(\frac{I_1}{I_2}\right)}_{\text{min}}}{2}$  

$\Delta \left(\frac{I_1}{I_2}\right)=\frac{4,24-3,76}{2}$  

$\Delta \left(\frac{I_1}{I_2}\right)=\frac{0,48}{2}$  

$\Delta \left(\frac{I_1}{I_2}\right)=0,24$  

Zatem:

$\frac{I_1}{I_2}=4,00\pm 0,24$  

Związek jest spełniony.

 

$D.$  

 Uzasadnienie: 

Wiemy, że jeżeli moment siły jest stały, to zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego spełniony jest związek:

II ZASADA DYNAMIKI DLA RUCHU OBROTOWEGO Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego otrzymujemy: $I\epsilon =M$ gdzie: $I$ - moment bezwładności układu bryły sztywnej wykonującej ruch obrotowy,  $\epsilon$ - wartość przyspieszenia kątowego bryły sztywnej,  $M$ - wartość wypadkowego momentu sił działających na układ.

Zatem:

$I\epsilon =\text{const}$  

$I\sim \frac{1}{\epsilon }$  

 Odpowiedź: 

Wniosek z pomiarów: przyspieszenie kątowe bryły uzyskane przy danym momencie siły jest  odwrotnie proporcjonalne  do momentu bezwładności bryły.