Dysponujemy dwiema kulkami o jednakowej masie m każda. Kulki...- Zadanie Zadanie 6: Zrozumieć fizykę 1. Maturalne karty pracy. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Aby odpowiedzieć na pytania musimy obliczyć szybkości kulek po zderzeniu. Mamy do czynienia ze zderzeniem doskonale sprężystym. Przy czym:

$m_{1} = m_{2} = m$

$u_{1} = 0$

$u_{2} = v = 4 \frac{m}{s}$

Wyprowadzenie wzorów na prędkość po zderzeniu doskonale sprężystym.

Niech prędkość ciał przed zderzeniem wynosi:

▶ $u_{1}$ dla ciała o masie $m_{1}$ ,

▶ $u_{2}$ dla ciała o masie $m_{2}$ .

Ciała poruszają się na wprost siebie po jednej prostej. Wówczas wartości pędów tych ciał przed zderzeniem wynoszą:

$p_{0.1} = m_{1} u_{1}$

$p_{0.2} = - m_{2} u_{2}$

Zderzenie jest doskonale sprężyste. Wówczas po zderzeniu zmieniają się zwroty prędkości tych ciał i będą miały pędy o wartościach:

$p_{1} = - m_{1} v_{1}$

$p_{2} = m_{2} v_{2}$

gdzie:

$v_{1}$ - wartość prędkości pierwszego ciała po zderzeniu,

$v_{2}$ - wartość prędkości drugiego ciała po zderzeniu.

Wówczas zgodnie z zasadą zachowania pędu otrzymamy pierwsze równanie:

$(1.) p_{1} + p_{2} = p_{0.1} + p_{0.2}$

$(1.) - m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} - m_{2} u_{2} ∣ + m_{2} u_{2} + m_{1} v_{1}$

$(1.) m_{2} v_{2} + m_{2} u_{2} = m_{1} u_{1} + m_{1} v_{1}$

$(1.) m_{2} (v_{2} + u_{2}) = m_{1} (u_{1} + v_{1}) ∣ : m_{1}$

$(1.) \frac{m _{2}}{m _{1}} (v_{2} + u_{2}) = u_{1} + v_{1} ∣ : (v_{2} + u_{2})$

$(1.) \frac{m _{2}}{m _{1}} = \frac{u _{1} + v _{1}}{v _{2} + u _{2}}$

Skoro ciała poruszają się to możemy zauważyć, że ich energie kinetyczne przed zderzeniem będą miały postać:

$E_{k .0 .1} = \frac{m _{1} u _{1}^{2}}{2}$

$E_{k .0 .2} = \frac{m _{2} u _{2}^{2}}{2}$

Po zderzeniu energie poszczególnych ciał będą miały postać:

$E_{k .1} = \frac{m _{1} v _{1}^{2}}{2}$

$E_{k .2} = \frac{m _{2} v _{2}^{2}}{2}$

Oznacza to, że z zasady zachowania energii otrzymamy drugie równanie:

$(2.) E_{k .1} + E_{k .2} = E_{k .0 .1} + E_{k .0 .2}$

$(2.) \frac{m _{1} v _{1}^{2}}{2} + \frac{m _{2} v _{2}^{2}}{2} = \frac{m _{1} u _{1}^{2}}{2} + \frac{m _{2} u _{2}^{2}}{2} ∣ \cdot 2$

$(2.) m_{1} v_{1}^{2} + m_{2} v_{2}^{2} = m_{1} u_{1}^{2} + m_{2} u_{2}^{2} ∣ - m_{1} v_{1}^{2} - m_{2} u_{2}^{2}$

$(2.) m_{2} v_{2}^{2} - m_{2} u_{2}^{2} = m_{1} u_{1}^{2} - m_{1} v_{1}^{2}$

$(2.) m_{2} (v_{2}^{2} - u_{2}^{2}) = m_{1} (u_{1}^{2} - v_{1}^{2}) ∣ : m_{1}$

$(2.) \frac{m _{2}}{m _{1}} (v_{2}^{2} - u_{2}^{2}) = u_{1}^{2} - v_{1}^{2} ∣ : (v_{2}^{2} - u_{2}^{2})$

$(2.) \frac{m _{2}}{m _{1}} = \frac{u _{1}^{2} - v _{1}^{2}}{v _{2}^{2} - u _{2}^{2}}$

Otrzymaliśmy dwa równania, które możemy porównać:

$\frac{u _{1} + v _{1}}{v _{2} + u _{2}} = \frac{u _{1}^{2} - v _{1}^{2}}{v _{2}^{2} - u _{2}^{2}}$

Ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:

$\frac{u _{1} + v _{1}}{v _{2} + u _{2}} = \frac{( u _{1} - v _{1} ) ( u _{1} + v _{1} )}{( v _{2} - u _{2} ) ( v _{2} + u _{2} )} ∣ \cdot \frac{v _{2} + u _{2}}{u _{1} + v _{1}}$

$1 = \frac{u _{1} - v _{1}}{v _{2} - u _{2}} ∣ \cdot (v_{2} - u_{2})$

$v_{2} - u_{2} = u_{1} - v_{1} ∣ + u_{2}$

$v_{2} = u_{1} + u_{2} - v_{1}$

Korzystając z równania wynikające z zasady zachowania pędu możemy zapisać, że:

$- m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} u_{1} - m_{2} u_{2}$

$- m_{1} v_{1} + m_{2} (u_{1} + u_{2} - v_{1}) = m_{1} u_{1} - m_{2} u_{2}$

$- m_{1} v_{1} + m_{2} u_{1} + m_{2} u_{2} - m_{2} v_{1} = m_{1} u_{1} - m_{2} u_{2} ∣ - m_{2} u_{1} - m_{2} u_{2}$

$- m_{1} v_{1} - m_{2} v_{1} = m_{1} u_{1} - m_{2} u_{1} - 2 m_{2} u_{2}$

$- (m_{1} + m_{2}) v_{1} = - (m_{2} - m_{1}) u_{1} - 2 m_{2} u_{2} ∣ : (- (m_{1} + m_{2}))$

$v_{1} = \frac{m _{2} - m _{1}}{m _{1} + m _{2}} u_{1} + \frac{2 m _{2}}{m _{1} + m _{2}} u_{2}$

Wówczas wartość drugiej prędkości przedstawimy wzorem:

$v_{2} = u_{1} + u_{2} - v_{1}$

$v_{2} = u_{1} + u_{2} - (\frac{m _{2} - m _{1}}{m _{1} + m _{2}} u_{1} + \frac{2 m _{2}}{m _{1} + m _{2}} u_{2})$

$v_{2} = \frac{m _{2} + m _{1}}{m _{2} + m _{1}} u_{1} + \frac{m _{2} + m _{1}}{m _{2} + m _{1}} u_{2} - \frac{m _{2} - m _{1}}{m _{1} + m _{2}} u_{1} - \frac{2 m _{2}}{m _{1} + m _{2}} u_{2}$

$v_{2} = [\frac{m _{2} + m _{1}}{m _{2} + m _{1}} - \frac{m _{2} - m _{1}}{m _{1} + m _{2}}] u_{1} + [\frac{m _{2} + m _{1}}{m _{2} + m _{1}} - \frac{2 m _{2}}{m _{1} + m _{2}}] u_{2}$

$v_{2} = \frac{m _{2} + m _{1} - ( m _{2} - m _{1} )}{m _{1} + m _{2}} u_{1} + \frac{m _{2} + m _{1} - 2 m _{2}}{m _{1} + m _{2}} u_{2}$

$v_{2} = \frac{m _{2} + m _{1} - m _{2} + m _{1}}{m _{1} + m _{2}} u_{1} + \frac{m _{1} - m _{2}}{m _{1} + m _{2}} u_{2}$

$v_{2} = \frac{2 m _{1}}{m _{1} + m _{2}} u_{1} + \frac{m _{1} - m _{2}}{m _{1} + m _{2}} u_{2}$

Korzystamy z wyprowadzonych wzorów na prędkości ciał po zderzaniu doskonale sprężystym:

$v_{1} = \frac{m _{2} - m _{1}}{m _{1} + m _{2}} u_{1} + \frac{2 m _{2}}{m _{1} + m _{2}} u_{2}$

$v_{2} = \frac{2 m _{1}}{m _{1} + m _{2}} u_{1} + \frac{m _{1} - m _{2}}{m _{1} + m _{2}} u_{2}$

gdzie $m_{1}$ i $m_{2}$ są masami tych ciał, $u_{1}$ i $u_{2}$ są ich prędkościami przed zderzeniem.

Wówczas szybkość pierwszej kulki po zderzeniu ma postać:

$v_{1} = \frac{m - m}{m + m} \cdot 0 - \frac{2 m}{m + m} v$

$v_{1} = 0 - \frac{2 m}{2 m} v$

$v_{1} = - v$

$v_{1} = - 4 \frac{m}{s}$

Otrzymany znak minus świadczy o zmianie zwrotu wektora prędkości na przeciwny.

Natomiast szybkość drugiej kulki po zderzeniu będzie wynosiła:

$v_{2} = \frac{2 m}{m + m} \cdot 0 + \frac{m - m}{m + m} v$

$v_{2} = 0 + \frac{0}{2 m} \cdot v$

$v_{2} = 0$

Oznacza to, że po zderzeniu początkowo nieruchoma kulka porusza się z prędkością o wartości takiej samej jak kulka poruszające się. Natomiast początkowo poruszająca się kulka zatrzymuje się.

Odpowiadamy na pytania:

1. FAŁSZ.

2. FAŁSZ.

3. PRAWDA.

4. PRAWDA.