Pomiary drogi zatrzymania dla innego kierowcy i innego...- Zadanie Zadanie 7.3: Zrozumieć fizykę 1. Maturalne karty pracy. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

W treści zadania podane mamy:

$s_{1} = 50 m$ ,

$v_{1} = 72 \frac{km}{h}$ ,

$s_{2} = 150 m$

$v_{2} = 144 \frac{km}{h}$ .

Szukane:

Czasy reakcji kierowcy:

$t_{R} = ?$

Rozwiązanie:

W zadaniu 7.1 otrzymaliśmy, że całkowita droga zatrzymania pojazdu jest dana zależnością:

$s = v_{0} t_{R} + \frac{v _{0}^{2}}{2 a}$

gdzie:

$t_{R}$ - czas reakcji,

$v_{0}$ - szybkość początkowa,

$a$ - wartość przyspieszenia.

Zgodnie z treścią zadania mamy podane, że kierowca zaczął hamowanie z prędkością początkową o wartości $v_{1}$ , a później o wartości $v_{2}$ .

Zatem wzór na całkowitą drogę zatrzymania pojazdu przyjmuję postać:

▶ Hamowanie przy prędkości początkowej o wartości $v_{1}$

$s_{1} = v_{1} t_{R} + \frac{v _{1}^{2}}{2 a _{1}}$

▶ Hamowanie przy prędkości początkowej o wartości $v_{2}$

$s_{2} = v_{2} t_{R} + \frac{v _{2}^{2}}{2 a _{2}}$

Zauważmy, że w przypadku pierwszego kierowcy, czyli według wykresu podanego w zadaniu 7, wartość przyspieszenia była taka sama niezależnie od tego z jaką szybkością początkową samochód hamował. Zakładamy również i w tym zadaniu (opierając się na wskazówce podanej w ramce zadania), że w momencie przyciśnięcia hamulca przez kierowcę samochód hamuje z taką samą wartością przyspieszenia, czyli opóźnienia. Zatem niezależnie od wartości prędkości początkowej samochód hamuje z taką samą wartością przyspieszenia:

$a_{1} = a_{2}$

Skupiamy się teraz na pierwszym wzorze na drogę hamowania. Przekształcamy go w taki sposób, aby otrzymać wzór na wartość przyspieszenia:

$s_{1} = v_{1} t_{R} + \frac{v _{1}^{2}}{2 a _{1}} ∣ - v_{1} t_{1}$

$s_{1} - v_{1} t_{R} = \frac{v _{1}^{2}}{2 a _{1}} ∣ \cdot 2 a_{1}$

$2 a_{1} (s_{1} - v_{1} t_{R}) = v_{1}^{2} ∣ : (s_{1} - v_{1} t_{R})$

$2 a_{1} = \frac{v _{1}^{2}}{s _{1} - v _{1} t _{R}} ∣ : 2$

$a_{1} = \frac{v _{1}^{2}}{2 ( s _{1} - v _{1} t _{R} )}$

Analogiczny wzór otrzymujemy, ale dla hamowania przy prędkości początkowej o wartości $v_{2}$ :

$a_{2} = \frac{v _{2}^{2}}{2 ( s _{2} - v _{2} t _{R} )}$

Porównujemy ze sobą te dwa wzory na wartość przyspieszenia:

$a_{1} = a_{2}$

$\frac{v _{1}^{2}}{2 ( s _{1} - v _{1} t _{R} )} = \frac{v _{2}^{2}}{2 ( s _{2} - v _{2} t _{R} )}$

Wymnażamy na krzyż i wyznaczamy wzór na czas reakcji:

$2 v_{1}^{2} (s_{2} - v_{2} t_{R}) = 2 v_{2}^{2} (s_{1} - v_{1} t_{R})$

$v_{1}^{2} s_{2} - v_{1}^{2} v_{2} t_{R} = v_{2}^{2} s_{1} - v_{2}^{2} v_{1} t_{R} + v_{2}^{2} v_{1} t_{R}$

$v_{1}^{2} s_{2} + v_{2}^{2} v_{1} t_{R} - v_{1}^{2} v_{2} t_{R} = v_{2}^{2} s_{1} - v_{1}^{2} s_{2}$

$v_{2}^{2} v_{1} t_{R} - v_{1}^{2} v_{2} t_{R} = v_{2}^{2} s_{1} - v_{1}^{2} s_{2}$

$(v_{2}^{2} v_{1} - v_{1}^{2} v_{2}) t_{R} = v_{2}^{2} s_{1} - v_{1}^{2} s_{2} : (v_{2}^{2} v_{1} - v_{1}^{2} v_{2})$

$t_{R} = \frac{v _{2}^{2} s _{1} - v _{1}^{2} s _{2}}{v _{2}^{2} v _{1} - v _{1}^{2} v _{2}}$

$t_{R} = \frac{v _{2}^{2} s _{1} - v _{1}^{2} s _{2}}{v _{1} v _{2} ( v _{2} - v _{1} )}$

Zanim wyznaczymy czas reakcji zapisujemy wartości prędkości w ^m/_s korzystając z tego, że:

$1 km = 1000 m$

oraz:

$1 h = 3600 s$

Zatem:

▶ Prędkość początkowa o wartości $v_{1}$ :

$v_{1} = 72 \frac{km}{h} =$

$= 72 \cdot \frac{1 km}{1 h} =$

$= 72 \cdot \frac{1 000 m}{3 600 s} =$

$= \frac{72}{1} \cdot \frac{1 000}{3 600} \frac{m}{s} =$

$= \frac{72 000}{3 600} \frac{m}{s} =$

$= 20 \frac{m}{s}$

▶ Prędkość początkowa o wartości $v_{2}$ :

$v_{2} = 144 \frac{km}{h} =$

$= 144 \cdot \frac{1 km}{1 h} =$

$= 144 \cdot \frac{1 000 m}{3 600 s} =$

$= \frac{144}{1} \cdot \frac{1 000}{3 600} \frac{m}{s} =$

$= \frac{144 000}{3 600} \frac{m}{s} =$

$= 40 \frac{m}{s}$

Wracamy do wzoru na czas reakcji, wprowadzamy dane i obliczamy:

$t_{R} = \frac{v _{2}^{2} s _{1} - v _{1}^{2} s _{2}}{v _{1} v _{2} ( v _{2} - v _{1} )}$

$t_{R} = \frac{( 40 \frac{m}{s} ) ^{2} \cdot 50 m - ( 20 \frac{m}{s} ) ^{2} \cdot 150 m}{20 \frac{m}{s} \cdot 40 \frac{m}{s} \cdot ( 40 \frac{m}{s} - 20 \frac{m}{s} )} =$