Dane:

$d=10\text{m}$  

$R=0,5\text{m}$  

$F=1\text{N}$  

Przyjmujemy, że wartość stałej grawitacji wynosi:

$G=6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}$  

 

$a)$  

Kule mają takie same masy:

$m_1=m_2=m$  

Wartość siły grawitacji obliczamy korzystając ze wzoru:

$F_g=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$  

gdzie $G$  jest stałą grawitacji, $m_1$  i $m_2$  są oddziałującymi ze sobą masami, $r$  jest odległością pomiędzy środkami tych mas.

Zatem dla naszego przypadku otrzymujemy, że:

$F=G\cdot \frac{m\cdot m}{d^2}$  

$F=G\cdot \frac{m^2}{d^2}$  

Zatem masy tych kul będą wynosiły:

$G\frac{m^2}{d^2}=F\mid \cdot d^2$  

$G{m}^2=F{d}^2\mid :G$  

$m^2=\frac{F{d}^2}{G}\mid \sqrt{}$  

$m=\sqrt{\frac{F{d}^2}{G}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$m=\sqrt{\frac{1\text{N}\cdot {\left(10\text{m}\right)}^2}{6,67\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}}}=\sqrt{\frac{1\text{N}\cdot 100{\text{m}}^2}{66,7\cdot {10}^{-12}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}}}=$  

$=\sqrt{\frac{100\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{66,7\cdot {10}^{-12}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}}}\approx \sqrt{1,49925\cdot {10}^{12}\text{kg}}\approx$  

$\approx 1,2244386\cdot {10}^6\text{kg}\approx 1,2\cdot {10}^6\text{kg}$  

Odpowiedź: Masa każdej z tych kul wynosi około 1,2٠10⁶ kg.

 

$b)$  

Znając promień kuli możemy obliczyć jej objętość:

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$  

Zatem z definicji gęstości otrzymujemy, że:

$\rho =\frac{m}{V}$  

$\rho =\frac{m}{\frac{4}{3}\pi R^3}$  

$\rho =\frac{3m}{4\pi R^3}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$\rho \approx \frac{3\cdot 1,2\cdot {10}^6\text{kg}}{4\cdot 3,14\cdot {\left(0,5\text{m}\right)}^3}=\frac{3,6\cdot {10}^6\text{kg}}{4\cdot 3,14\cdot 0,125{\text{m}}^3}=$  

$=\frac{3,6\cdot {10}^6\text{kg}}{1,57{\text{m}}^3}\approx 2,29299\cdot {10}^6\frac{\text{kg}}{\text{m^3}}\approx 2,3\cdot {10}^6\frac{\text{kg}}{\text{m^3}}$  

Nie istnieje na Ziemi materiał o podobnej gęstości.