Podczas treningu Wodnego Pogotowia Ratunkowego przygotowano...- Zadanie 3.3.7.: Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$v_{m} = 15 \frac{m}{s}$

$v_{r} = 3 \frac{m}{s}$

$s = 200 m$

$a)$

Szukane:

Który zespół dotrze pierwszy do koła ratunkowego? Który, jak pierwszy wróci do swojej bazy?

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest określenie, który zespół dotrze pierwszy do koła ratunkowego znajdującego się na rzece, a który jako pierwszy powróci do swojej bazy. Zauważmy, że droga, jaką musi pokonać każdy z zespołów jest taka sama oraz motorówki względem wody poruszają się z tą samą szybkością. Względem brzegu, czy zacumowanej łódki szybkość motorówek będzie zależała jednak jeszcze od szybkości prądu rzeki.

Dlatego na początku określamy wartości prędkości względnych łódek. Zacznijmy od łódki, w której znajduje się załogo 1. Zwrot prędkości łódki jest zgodny ze zwrotem prędkości prądu rzeki. Wówczas wzór na wartość prędkości względnej pierwszej załogi ma postać:

$v_{wzg.1.1} = v_{m} + v_{r}$

gdzie:

$v_{wzg.1}$ - wartość prędkości załogi 1 względem brzegu i zacumowanej łódki (bazy),

$v_{m}$ - wartość prędkości motorówki względem brzegu,

$v_{r}$ - wartość prędkości nurtu rzeki.

Druga załoga porusza się przeciwnie do nurtu rzeki. Oznacza to, że zwrot prędkości łódki z drugą załogą jest przeciwny do zwrotu prędkości prądu rzeki. Wówczas wzór na wartość prędkości względnej drugiej załogi ma postać:

$v_{wzg.2.1} = v_{m} - v_{r}$

gdzie:

$v_{wzg.2.1}$ - wartość prędkości względnej drugiej załogi.

Aby określić, który zespół dotrze szybciej do koła ratunkowego to musimy wyznaczyć czasy ruchów łódek. Zwróćmy jednak uwagę, że każde z kół ratunkowych po wyrzuceniu z łódki 0 również będzie poruszało się względem brzegu ze stałą prędkością odpowiadającą prędkości nurtu rzeki.

Oznacza to, że każde z kół ratunkowych, w tym samym czasie, w którym łódka do nich dociera, będzie poruszało się z nurtem rzeki i pokona pewną drogę.

Rozważmy ruch tylko pierwszej łodzi w stronę koła ratunkowego.

W tym przypadku, korzystając ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnym, możemy zapisać, że koło ratunkowe pokona drogę równą:

$s_{k.1} = v_{r} t_{1.1}$

gdzie:

$s_{k.1}$ - droga, jaką przebyło koło ratunkowe, zanim dotarła do niego pierwsza łódź,

$t_{1.1}$ - czas ruchu koła ratunkowego z nurtem rzeki, który odpowiada czasowi, w jakim pierwsza łódź dotrze do niego (pierwsza szukana).

Zatem wzór na całkowitą drogę, jaką musi pokonać pierwsza łódź do koła ratunkowego wynosi:

$s_{c.1} = s + s_{k.1}$

gdzie:

$s_{c.1}$ - całkowita drogą, jaką musi pokonać pierwsza łódź, aby dotrzeć do koła ratunkowego,

$s$ - droga od punktu początkowego, gdzie znajdowała się pierwsza łódź do bazy 0.

Korzystając z wzoru na szybkość w ruchu jednostajnym możemy zatem zapisać, że wartość prędkości względnej pierwszej łodzi w ruchu do koła ratunkowego ma postać:

$v_{wzg.1.1} = \frac{s _{c.1}}{t _{1.1}}$

Podstawiamy do tego wzoru zależności na drogi i szybkość względną:

$v_{m} + v_{r} = \frac{s + s _{k.1}}{t _{1.1}}$

$v_{m} + v_{r} = \frac{s + v _{r} t _{1.1}}{t _{1.1}}$

Nas interesuje czas ruchu łodzi $t_{1.1}$ , dlatego właśnie tę wielkość wyznaczamy z powyższej zależności:

$v_{m} + v_{r} = \frac{s}{t _{1.1}} + \frac{v _{r} t _{1.1}}{t _{1.1}}$

$v_{m} + v_{r} = \frac{s}{t _{1.1}} + v_{r} ∣ - v_{r}$

$v_{m} = \frac{s}{t _{1.1}} ∣ \cdot t_{1.1}$

$v_{m} t_{1.1} = s ∣ : v_{m}$

$t_{1.1} = \frac{s}{v _{m}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t_{1.1} = \frac{200 m}{15 \frac{m}{s}} = \frac{200}{15} m \cdot \frac{s}{m} \approx 13, 3 s$

Oznacza to, że pierwsza łódź dotarła do koła ratunkowego po czasie równym około 13,3 s.

Rozważmy ruch pierwszej łodzi, gdy wraca do bazy.

Pomijamy czas zawracania pierwszej łodzi. Zakładamy wid, że łódź zawraca natychmiast, aby wrócić do swojej bazy. Porusza się ona wówczas z prędkością o zwrocie przeciwnym do zwrotu prędkości rzeki. Zatem wzór na wartość prędkości względnej pierwszej łodzi wracającej do bazy ma postać:

$v_{wzg.1.2} = v_{m} - v_{r}$

gdzie:

$v_{wzg.1.2.}$ - wartość prędkości względnej pierwszej łodzi wracającej do bazy.

Łódź wracając pokonuje dokładnie taką samą drogę jak gdy płynęła do koła. Wówczas korzystając ze wzoru na szybkość w ruchu jednostajnym, czas ruchu tej łodzi możemy przedstawić wzorem:

$t_{1.2} = \frac{s _{c.1}}{v _{wzg.1.2}}$

gdzie:

$t_{1.2}$ - czas, w jakim łódź pierwsza po zabraniu koła ratunkowego wróci do bazy.

Podstawmy wcześniej zapisane zależności do tego wzoru na czas:

$t_{1.2} = \frac{s + s _{k.1}}{v _{m} - v _{r}}$

$t_{1.2} = \frac{s + v _{r} t _{1.1}}{v _{m} - v _{r}}$

Wprowadzamy wzór na czas $t_{1.1}$ , który wcześniej wyznaczyliśmy:

$t_{1.2} = \frac{s + v _{r} \cdot \frac{s}{v _{m}}}{v _{m} - v _{r}}$

Wyciągamy przed nawias iloraz drogi i szybkości motorówki:

$t_{1.2} = \frac{s \cdot \frac{v _{m}}{v _{m}} + v _{r} \cdot \frac{s}{v _{m}}}{v _{m} - v _{r}}$

$t_{1.2} = \frac{\frac{s}{v _{m}} \cdot v _{m} + v _{r} \cdot \frac{s}{v _{m}}}{v _{m} - v _{r}}$

$t_{1.2} = \frac{\frac{s}{v _{m}} \cdot ( v _{m} + v _{r} )}{v _{m} - v _{r}}$

$t_{1.2} = \frac{s ( v _{m} + v _{r} )}{v _{m} ( v _{m} - v _{r} )}$

Podstawmy dane liczbowe do wzoru:

$t_{1.2} = \frac{200 m \cdot ( 15 \frac{m}{s} + 3 \frac{m}{s} )}{15 \frac{m}{s} \cdot ( 15 \frac{m}{s} - 3 \frac{m}{s} )} =$

$= \frac{200 40 m \cdot 18 \frac{m}{s}}{3 15 \frac{m}{s} \cdot 12 \frac{m}{s}} = \frac{40 m \cdot 18 3}{3 \frac{m}{s} \cdot 2 12} =$

$= \frac{120}{6} s = 20 s$

Oznacza to, że łódka pierwsza po zabraniu koła do bazy wróciła po czasie 20 s.

Całkowity czas ruchu pierwszej łodzi.

Wiemy, jak długo pierwsza łódź płynęła w stronę koła ratunkowego oraz znamy czas w jakim wracała do bazy. Zatem wzór na całkowity czas ruchu łodzi będzie przyjmował postać:

$t_{1} = t_{1.1} + t_{1.2}$

gdzie:

$t_{1}$ - całkowity czas ruchu pierwszej łodzi,

$t_{1.1}$ - czas, w którym pierwsza łódź dopływa do koła ratunkowego,

$t_{1.2}$ - czas, w którym pierwsza łódź dopływa do bazy od chwili zabrania koła ratunkowego.

Wprowadzamy wyznaczone wcześniej wzory na poszczególne czasy:

$t_{1} = \frac{s}{v _{m}} + \frac{s}{v _{m}} \cdot \frac{( v _{m} + v _{r} )}{v _{m} - v _{r}}$

$t_{1} = \frac{s}{v _{m}} \cdot (1 + \frac{v _{m} + v _{r}}{v _{m} - v _{r}})$

$t_{1} = \frac{s}{v _{m}} \cdot (\frac{v _{m} - v _{r}}{v _{m} - v _{r}} + \frac{v _{m} + v _{r}}{v _{m} - v _{r}})$

$t_{1} = \frac{s}{v _{m}} \cdot (\frac{v _{m} - v _{r} + v _{m} + v _{r}}{v _{m} - v _{r}})$

$t_{1} = \frac{s}{v _{m}} \cdot \frac{2 v _{m}}{v _{m} - v _{r}}$

$t_{1} = \frac{2 s}{v _{m} - v _{r}}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$t_{1} = \frac{2 \cdot 200 m}{15 \frac{m}{s} - 3 \frac{m}{s}} =$

$= \frac{400 m}{12 \frac{m}{s}} =$

$= \frac{400}{12} m \cdot \frac{s}{m} \approx 33, 3 s$

Zatem całkowity czas ruchu pierwszej łodzi wynosi około 33,3 s.

Rozważmy ruch drugiej łodzi w stronę koła ratunkowego.

Na początku zapisaliśmy wartość prędkości względnej drugiej łodzi, gdy płynęła ona w stronę koła ratunkowego. W tym przypadku wzór na drogę przebytą przez koło ratunkowe będzie przyjmował postać:

$s_{k.2} = v_{r} t_{2.1}$

gdzie:

$s_{k.2}$ - droga przebyta przez koło ratunkowe do chwili, aż dopłynie do niego łódź z drugą załogą,

$t_{2.1}$ - czas w jakim koło ratunkowe pokona tą drogę oraz jest to również czas ruchu drugiej łodzi w stronę koła ratunkowego.

W tym przypadku koło ratunkowe płynie w stronę łodzi. Oznacza to, że droga przebyta przez łódź w stronę koła będzie różnicą pomiędzy drogą, jaką musiałaby ona pokonać do bazy 0 oraz drogi przebytej koło:

$s_{c.2} = s - s_{k.2}$

gdzie:

$s_{c.2}$ - droga przebyta przez pierwszą łódź do koła ratunkowego.

Zatem wartość prędkości względnej łodzi w stronę koło możemy przedstawić wzorem:

$v_{wzg.2.1} = \frac{s _{k.2}}{t _{2.1}}$

Podstawiamy wyznaczone zależności do powyższego wzoru na wartość prędkości względnej i wyznaczamy czas w jakim załoga 2 dopłynęła do koła ratunkowego:

$v_{m} - v_{r} = \frac{s - s _{k.2}}{t _{2.1}}$

$v_{m} - v_{r} = \frac{s - v _{r} t _{2.1}}{t _{2.1}}$

$v_{m} - v_{r} = \frac{s}{t _{2.1}} - \frac{v _{r} t _{2.1}}{t _{2.1}}$

$v_{m} - v_{r} = \frac{s}{t _{2.1}} - v_{r} ∣ - v_{r}$

$v_{m} = \frac{s}{t _{2.1}} ∣ \cdot t_{2.1}$

$v_{m} t_{2.1} = s ∣ : v_{m}$

$t_{2.1} = \frac{s}{v _{m}}$

Zauważmy, że:

$t_{1.1} = \frac{s}{v _{m}}$

Wówczas:

$t_{2.1} = t_{1.1}$

Oznacza to, że:

$t_{2.1} \approx 13, 3 s$

Druga załoga dopłynęła do koła ratunkowe również w czasie równym około 13,3 s.

Rozważmy ruch drugiej łodzi, gdy wraca do bazy.

Wyznaczamy czas ruchu drugiej załogi, która wraca do swojej bazy. Wówczas druga załoga porusza się z prędkością o zwrocie zgodnym ze zwrotem prędkości nurtu rzeki, czyli wartość prędkości względnej drugiej załogi w tym przypadku ma postać:

$v_{wzg.2.2} = v_{m} + v_{r}$

gdzie:

$v_{wzg.2.2}$ - wartość prędkości względnej łodzi z drugą załogą, gdy wraca ona do bazy.

Wówczas czas powrotu tej łodzi możemy przedstawić wzorem:

$t_{2.2} = \frac{s _{c.2}}{v _{wzg.2.2}}$

$t_{2.2} = \frac{s - s _{k.2}}{v _{m} + v _{r}}$

$t_{2.2} = \frac{s - v _{r} t _{2.1}}{v _{m} + v _{r}}$

$t_{2.2} = \frac{s - v _{r} t _{1.1}}{v _{m} + v _{r}}$

$t_{2.2} = \frac{s - v _{r} \cdot \frac{s}{v _{m}}}{v _{m} + v _{r}}$

Wyciągamy przed nawias iloraz drogi i szybkości motorówki:

$t_{2.2} = \frac{\frac{s}{v _{m}} ( v _{m} - v _{r} )}{v _{m} + v _{r}}$

$t_{2.2} = \frac{s ( v _{m} - v _{r} )}{v _{m} ( v _{m} + v _{r} )}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t_{2.2} = \frac{200 m \cdot ( 15 \frac{m}{s} - 3 \frac{m}{s} )}{15 \frac{m}{s} \cdot ( 15 \frac{m}{s} + 3 \frac{m}{s} )} =$

$= \frac{200 40 m \cdot 12 \frac{m}{s}}{3 15 \frac{m}{s} \cdot 18 \frac{m}{s}} = \frac{40 m \cdot 12 2}{3 \frac{m}{s} \cdot 3 18} =$

$= \frac{80}{9} s \approx 8, 9 s$

Po zabraniu koła druga załoga wróci do bazy po czasie równym około 8,9 s.

Całkowity czas ruchu drugiej łodzi.

Wiemy, jak długo druga łódź płynęła w stronę koła ratunkowego oraz znamy czas w jakim wracała do bazy. Zatem całkowity czas ruchu tej łodzi będzie wynosił:

$t_{2} = t_{2.1} + t_{2.2}$

gdzie:

$t_{2}$ - całkowity czas ruchu drugiej łodzi.

Wprowadzamy wyznaczone wcześniej wzory na poszczególne czasy:

$t_{2} = \frac{s}{v _{m}} + \frac{s}{v _{m}} \cdot \frac{v _{m} - v _{r}}{v _{m} + v _{r}}$

$t_{2} = \frac{s}{v _{m}} \cdot (1 + \frac{v _{m} - v _{r}}{v _{m} + v _{r}})$

$t_{2} = \frac{s}{v _{m}} \cdot (\frac{v _{m} + v _{r}}{v _{m} + v _{r}} + \frac{v _{m} - v _{r}}{v _{m} + v _{r}})$

$t_{2} = \frac{s}{v _{m}} \cdot (\frac{v _{m} + v _{r} + v _{m} - v _{r}}{v _{m} + v _{r}})$

$t_{2} = \frac{s}{v _{m}} \cdot \frac{2 v _{m}}{v _{m} + v _{r}}$

$t_{2} = \frac{2 s}{v _{m} + v _{r}}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$t_{2} = \frac{2 \cdot 200 m}{15 \frac{m}{s} + 3 \frac{m}{s}} =$

$= \frac{400 m}{18 \frac{m}{s}} =$

$= \frac{400}{18} m \cdot \frac{s}{m} \approx 22, 2 s$

Zatem całkowity czas ruchu drugiej łodzi wynosi około 22,2 s.

PODSUMOWANIE

Pierwsza łódź dopłynęła do koła w czasie równym około 13,3 s. Powrót do bazy zajął jej 20 s. Całkowity czas ruchu pierwszej łodzi wynosił około 33,3 s.

Druga łódź dopłynęła do koła ratunkowego również w czasie równym około 13,3 s. Powrót do bazy zajął jej około 8,9 s. Całkowity czas ruchu drugiej łodzi wynosił około 22,2 s.

Odpowiedź: Oba zespoły dotrą do koła ratunkowego w tym samym czasie. Do bazy pierwsza powróci łódź z drugą załogą.

$b)$

Szukane:

Czy wynik zawodów ulegnie zmianie, gdy koło ratunkowe będzie nieruchome?

Rozwiązanie:

Badamy, czy wynik zawodów ulegnie zmianie. W tym przypadku obie łodzie w stronę koła ratunkowego i wracając do bazy pokonują taką samą drogę równą $s$ .

Wiemy, że w stronę koła ratunkowego pierwsza łódź porusza się z szybkością:

$v_{wzg.1.1} = v_{m} + v_{r}$

Zatem, korzystając ze wzorów w ruchu jednostajnym, czas ruchu pierwszej łodzi dla tego przypadku ma postać:

$t_{1.1} = \frac{s}{v _{wzg.1.1}}$

$t_{1.1} = \frac{s}{v _{m} + v _{r}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t_{1.1} = \frac{200 m}{15 \frac{m}{s} + 3 \frac{m}{s}} = \frac{200 m}{18 \frac{m}{s}} \approx 11, 1 s$

W stronę bazy pierwsza łódź pokona taką samą drogę, ale z inną szybkością, którą opisuje wzór:

$v_{wzg.1.2} = v_{m} - v_{r}$

Wówczas czas jej ruchu ma postać:

$t_{1.2} = \frac{s}{v _{wzg.1.2}}$

$t_{1.2} = \frac{s}{v _{m} - v _{r}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t_{1.2} = \frac{200 m}{15 \frac{m}{s} - 3 \frac{m}{s}} = \frac{200 m}{12 \frac{m}{s}} \approx 16, 7 s$

Całkowity czas ruchu pierwszej załogi będzie zatem w tym przypadku wynosił:

$t_{1} = t_{1.1} + t_{1.2}$

$t_{1} = 11, 1 s + 16, 7 s = 27, 8 s$

Druga załogo do koła ratunkowego dopłynie w czasie:

$t_{2.1} = \frac{s}{v _{wzg.2.1}}$

$t_{2.1} = \frac{s}{v _{m} - v _{r}}$

Zatem:

$t_{2.1} = \frac{200 m}{15 \frac{m}{s} - 3 \frac{m}{s}} = \frac{200 m}{12 \frac{m}{s}} \approx 16, 7 s$

Od koła ratunkowego do bazy druga załoga dopłynie w czasie:

$t_{2.2} = \frac{s}{v _{wzg.2.2}}$

$t_{2.2} = \frac{s}{v _{m} + v _{r}}$

Czyli:

$t_{2.2} = \frac{200 m}{15 \frac{m}{s} + 3 \frac{m}{s}} = \frac{200 m}{18 \frac{m}{s}} \approx 11, 1 s$

Całkowity czas ruchu drugiej załogi zatem wynosi:

$t_{2} = t_{2.1} + t_{2.2}$

Pierwsza łódź do koła ratunkowego dotarła po czasie równym około 11,1 s. Od koła ratunkowego do bazy wracała przez około 16,7 s. Całkowity czas ruchu pierwszej załogi wynosił około 27,8 s.

Druga łódź do koła ratunkowego dopłynęła w czasie około 16,7 s, a od koła do bazy w czasie 11,1 s. Zatem jej całkowity czas ruchu jest taki sam i wynosi również około 27,8 s.

Odpowiedź: Tak, wynik zawodów ulegnie zmianie. Do koła ratunkowego pierwsza dopłynie załoga pierwsza, a do bazy obie załogi wrócą równocześnie.