Dane:

$v_0=6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$h_0=0,5\mathrm{m}$

$g=10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$

 

$1.1.$

Szukane:

$h_{\text{max}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Wzór na wysokość ciała nad ziemią rzucie pionowym ma postać:

$h_{\text{max}}=h_0+\frac{g{t}^2}{2}$

gdzie:

$h_{\text{max}}$ - wysokość maksymalna,

$h_0$ - wysokość początkowa,

$g$- wartość przyspieszenia ziemskiego,

$t$ - czas ruchu.

Wartość prędkości piłki wyrazimy jako:

$v=v_0-gt$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości końcowej,

$v_{\text{0}}$ - wartość prędkości początkowej.

Na maksymalnej wysokości wartość prędkości piłeczki maleje do zera.

$0=v_0-gt$

Stąd czas wznoszenia się piłeczki będzie równy:

$gt=v_0$

$t=\frac{v_0}{g}$

Podstawiamy powyższy wzór do wzoru na wysokość na jakiej znajduje się piłeczka.

$h_{\text{max}}=h_0+\frac{{g\left(\frac{v_0}{g}\right)}^2}{2}$

$h_{\text{max}}=h_0+\frac{g\frac{v_0^2}{g^2}}{2}$

$h_{\max }=h_0+\frac{v_0^2}{2g}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$h_{\text{max}}=0,5\mathrm{m}+\frac{{\left(6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)}^2}{2\cdot 10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}=0,5\mathrm{m}+\frac{36\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^2}}{20\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}=0,5\mathrm{m}+1,8\mathrm{m}=2,3\mathrm{m}$

 

$1.2.$

Szukane:

$t_{\text{c}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Całkowity czas lotu piłki będzie czasem wznoszenia się piłki w górę i jej spadku.

$t_{\text{c}}=t+t^{\prime }$

gdzie:

$t_{\text{c}}$ - całkowity czas lotu,

$t$ - czas wznoszenia,

$t^{\prime }$ - czas opadania.

Czas wznoszenia jest równy:

 $t=\frac{v_0}{g}$

Czas spadku piłki wyznaczamy ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

$h_{\text{max}}=\frac{g{t}^{\prime 2}}{2}$

$2h_{\text{max}}=g{t}^{\prime 2}$

$t^{\prime 2}=\frac{2h_{\text{max}}}{g}$

$t^{\prime }=\sqrt{\frac{2h_{\max }}{g}}$

Zatem:

$t_{\text{c}}=\frac{v_0}{g}+\sqrt{\frac{2h_{\max }}{g}}$

Obliczamy całkowity czas lotu:

$t_{\text{c}}=\frac{6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}+\sqrt{\frac{2\cdot 2,3\mathrm{m}}{10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}}}=0,6\mathrm{s}+\sqrt{0,46{\mathrm{s}}^2}\approx 0,6\mathrm{s}+0,7\mathrm{s}=1,3\mathrm{s}$

 

$1.3.$

Szukane:

$y=\text{?}$

$t=\text{?}$

Rozwiązanie:

Korzystamy z równań na położenie dla dwóch piłeczek:

$y_1=y_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$

gdzie:

$y_1$ - położenie pierwszej piłeczki po danym czasie,

$y_0$ - położenie początkowe,

$v_0$ - wartość prędkości początkowej,

$t$ - czas ruchu,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

$y_2=y_0+v_0\left(t-t_0\right)-\frac{1}{2}g{\left(t-t_0\right)}^2$

gdzie:

$y_2$ - położenie drugiej piłeczki po danym czasie,

$t_0$ - odstęp czasu między wystrzałem piłeczek.

Aby wyznaczyć czas oraz miejsce spotkania obu piłek musimy rozwiązać układ równań, gdzie:

$y_1=y_2=y$

$y_0=h_0$

$t_0=0,3s$

Rozwiązujemy układ równań. Dla uproszczenia jednostki pomijamy:

$\{\begin{array}{l}y=0,5+6\cdot t-\frac{1}{2}\cdot 10\cdot t^2\\ y=0,5+6\cdot \left(t-0,3\right)-\frac{1}{2}\cdot 10\cdot {\left(t-0,3\right)}^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=0,5+6t-5t^2\\ y=0,5+6t-1,8-5\cdot \left(t^2+0,09-0,6t\right)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=0,5+6t-5t^2\\ y=-1,3+6t-5t^2-0,45+3t\end{array}$

  $\{\begin{array}{l}y=0,5+6t-5t^2\\ y=-1,75+9t-5t^2\mid \cdot \left(-1\right)\end{array}$  

$\frac{+\{\begin{array}{l}y=0,5+6t-5t^2\\ -y=1,75-9t+5t^2\end{array}}{0=2,25-3t}$

$0=2,25-3t\mid -2,25$

$-2,25=-3t\mid \cdot \left(-1\right)$

$2,25=3t\mid :3$

$t=0,75$

Wybieramy jedno z równań z powyższego układu równań.

$y=0,5+6t-5t^2$

Podstawiamy obliczoną zmienną:

$y=0,5+6\cdot 0,75-5\cdot 0,75=0,5+4,5-5\cdot 0,5625=5-2,8125=2,1875\approx 2,19$

Oznacza to, że otrzymaliśmy czas spotkania równy:

$t=0,75\mathrm{s}$

Wysokość na jakiej natapiało spotkanie równą:

$y=2,19\mathrm{m}$

 

$1.4.$

Korzystamy z równań ruchu z poprzedniego podpunktu.    

 

$1.5.$

Szukane:

$v_{\text{wzg}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Wartość prędkości piłek w chwili spotkania możemy obliczyć jako:

$v=v_0-gt$

Gdzie dla pierwszej piłki mamy:

$v=v_1$

$v_1=v_0-gt$

Dla drugiej piłki mamy:

$v=v_2$

$t=t-t_0$

$v_2=v_0-g\left(t-t_0\right)$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_1=6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}-10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,75\mathrm{s}=6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}-7,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=-1,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$v_2=6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}-10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot \left(0,75\mathrm{s}-0,3\mathrm{s}\right)=6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}-10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,45\mathrm{s}=6\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}-4,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=1,5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Wywnioskować z zadania możemy, że pierwsza piłka spadała w dół, a druga unosiła się do góry, gdy piłki się spotkały.

 

$1.6.$

$v_{\text{wzg}}=v_1-v_2$

gdzie:

$v_{\text{wzg}}$ - wartość prędkości względnej,

$v_1$ - wartość prędkości pierwszej piłeczki,

$v_2$ - wartość prędkości drugiej piłeczki.

Korzystamy z wzorów na prędkość z poprzedniego podpunktu:

$v_{\text{wzg}}=v_0-gt-\left(v_0-g\left(t-t_0\right)\right)$

$v_{\text{wzg}}=v_0-gt-v_0+g\left(t-t_0\right)$

$v_{\text{wzg}}=-gt+gt-g{t}_0$

$v_{\text{wzg}}=-g{t}_0=\text{const}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$v_{\text{wzg}}=-10\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}\cdot 0,3\mathrm{s}=-3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Piłki poruszały się względem siebie z ruchem jednostajnym, ponieważ ich prędkość względna miała stałą wartość.