Promień koła roweru górskiego...- Zadanie Zadanie 2. Rower górski: Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

UWAGA! W odpowiedziach w zbiorze zadań odpowiedzi do tego zadania znajdują się pod zadaniem 3 na stronie 299.

Dane:

$R = 36 cm = 0, 36 m$

$r = 4, 2 cm = 0, 042 m$

$I_{0} = 0, 38 kg \cdot m^{2}$

$F = 5 N$

$t = 10 s$

$f_{1} = 10 Hz$

$f_{2} = 2 Hz$

$n = 16$

$2.1.$

Wartość momentu siły obracającej się bryły sztywnej dla przypadku, gdy siła jest prostopadła do ramienia odległości od osi obrotu możemy przedstawić wzorem:

$M = r F$

gdzie:

$M$ - wartość momentu siły bryły sztywnej,

$F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną,

$r$ - odległości od osi obrotu bryły (długość ramienia siły).

Oznacza to, że moment siły działający na zębatkę będzie miał wartość:

$M = r F$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$M = 5 N \cdot 0, 042 m = 0, 21 N \cdot m$

Zgodnie z II zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego wartość przyspieszenia kątowego możemy przedstawić wzorem:

$ε = \frac{M}{I}$

gdzie:

$M$ - wartość wypadkowego momentu siły działającego w układzie,

$I$ - moment bezwładności.

Wówczas przyspieszenie kątowe koła roweru będzie miało postać:

$ε = \frac{M}{I _{0}}$

$ε = \frac{F r}{I _{0}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$ε = \frac{5 N \cdot 0 , 042 m}{0 , 38 kg \cdot m ^{2}} = \frac{0 , 21 N \cdot m}{0 , 38 kg \cdot m ^{2}} =$

$= \frac{0 , 21 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m}{0 , 38 kg \cdot m ^{2}} \approx 0, 55 \frac{rad}{s ^{2}}$

Szybkość kątową przedstawiamy wzorem:

$ω = ω_{0} + ε t$

gdzie $ω$ jest prędkością kątową po czasie t, ω₀ jest początkową prędkością kątową, ε jest przyspieszeniem kątowym. Zakładamy, że koło roweru nie ma prędkości początkowej, wówczas prędkość kątowa będzie miała postać:

$ω = ε t$

$ω = \frac{F r}{I _{0}} t$

$ω = \frac{F r t}{I _{0}}$

Podstawiamy dane liczbowe ze wzoru:

$ω = \frac{5 N \cdot 0 , 042 m \cdot 10 s}{0 , 38 kg \cdot m ^{2}} = \frac{2 , 1 N \cdot m \cdot s}{0 , 38 kg \cdot m ^{2}} =$

$= \frac{2 , 1 kg \cdot \frac{m}{s ^{2}} \cdot m \cdot s}{0 , 38 kg \cdot m ^{2}} \approx 5, 5 \frac{rad}{s}$

Kierunek prędkości kątowej jest prostopadły do powierzchni tego koła, a zwrot zależy od kierunku obrotu koła. W opisanym przypadku koło powinno kręcić się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czyli zwrot prędkości kątowej za kartkę - ⊗.

$2.2.$

Moment pędu przedstawiamy wzorem:

$L = I ω$

gdzie L jest momentem pędu bryły obrotowej o momencie bezwładności I poruszającej się z prędkością kątową ω. Wówczas otrzymujemy, że moment pędu będzie miał postać:

$L = I_{0} ω$

$L = I_{0} \frac{F r t}{I _{0}}$

$L = F r t$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$L = 5 N \cdot 0, 042 m \cdot 10 s = 2, 1 N \cdot m \cdot s = 2, 1 J \cdot s$

$2.3.$

Wiemy, że zależność prędkości liniowej od prędkości kątowej możemy przedstawić wzorem:

$v = ω R$

gdzie v jest prędkością liniową, ω jest prędkością końcową, R jest promieniem poruszającego się ciała. Prędkość kątową w zależności od częstotliwości przedstawiamy wzorem:

$ω = 2 π f$

gdzie ω jest prędkością kątową, f jest częstotliwością. Koło roweru poruszając się przebywa drogę s ruchem jednostajnie opóźnionym. Przyspieszenie poruszającego się koła możemy obliczyć korzystając z wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie opóźnionym:

$v_{2} = v_{1} - a t$

gdzie v₁ jest prędkością początkową, v₂ jest prędkością ciała po czasie t poruszającego się z przyspieszeniem a. Otrzymujemy wówczas, że:

$v_{2} = v_{1} - a t ∣ + a t$

$v_{2} + a t = v_{1} ∣ - v_{2}$

$a t = v_{1} - v_{2} ∣ : t$

$a = \frac{v _{1} - v _{2}}{t}$

Korzystając z wzoru na drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym wyznaczmy jej zależność od początkowej i końcowej częstotliwości ruchu koła roweru:

$s = v_{1} t - \frac{1}{2} a t^{2}$

$s = v_{1} t - \frac{1}{2} \frac{v _{1} - v _{2}}{t} t^{2}$

$s = v_{1} t - \frac{1}{2} (v_{1} - v_{2}) t$

$s = v_{1} - \frac{1}{2} v_{1} t + \frac{1}{2} v_{2} t$

$s = \frac{1}{2} v_{1} t + \frac{1}{2} v_{2} t$

$s = \frac{1}{2} (v_{1} + v_{2}) t$

$s = \frac{1}{2} (ω_{1} R + ω_{2} R) t$

$s = \frac{1}{2} R (ω_{1} + ω_{2}) t$

$s = \frac{1}{2} R (2 π f_{1} + 2 π f_{2}) t$

$s = \frac{1}{2} R 2 π (f_{1} + f_{2}) t$

$s = π R (f_{1} + f_{2}) t$

Znamy liczbę wykonanych przez koło obrotów. Liczbę tą możemy opisać jako stosunek drugi jaką pokonałoby koło do obwodu tego koła:

$n = \frac{s}{L}$

gdzie n jest liczbą obrotów, s jest drogą, L jest obwodem koła. Obwód koła przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L = 2 π R$

Korzystając z zależności na liczbę obrotów wyznaczamy czas ruchu koła roweru:

$n = \frac{s}{L}$

$n = \frac{π R ( f _{1} + f _{2} ) t}{2 π R}$

$n = \frac{1}{2} (f_{1} + f_{2}) t ∣ \cdot 2$

$2 n = (f_{1} + f_{2}) t ∣ : (f_{1} + f_{2})$

$\frac{2 n}{f _{1} + f _{2}} = t$

Zamieniamy stronami:

$t = \frac{2 n}{f _{1} + f _{2}}$

Koło wykonując ruch obrotowy porusza ma również prędkość kątową. Korzystając z wzoru na prędkość kątową w ruchu hamującym wyznaczmy przyspieszenie kątowe tego koła:

$ω_{2} = ω_{1} - ε t ∣ + ε t$

$ω_{2} + ε t = ω_{1} ∣ - ω_{2}$

$ε t = ω_{1} - ω_{2} ∣ : t$

$ε = \frac{ω _{1} - ω _{2}}{t}$

$ε = \frac{2 π f _{1} - 2 π f _{2}}{t}$

$ε = \frac{2 π ( f _{1} - f _{2} )}{t}$

Koło obracając się posiada pewien moment siły ze względu na siłę hamującą klocków hamulcowych:

$M_{k} = F_{1} R$

gdzie M_k jest momentem siły, F₁ jest siłą hamującą, R jest promieniem koła. Korzystając z wzoru na przyspieszenie bryły sztywnej wiemy, że jej moment siły możemy przedstawić wzorem:

$M = I_{0} ε$

Korzystając z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego otrzymujemy, że siła hamująca ma postać:

$M_{k} = M$

$F_{1} R = ε I_{0}$

$F_{1} R = I_{0} \frac{2 π ( f _{1} - f _{2} )}{t}$

$F_{1} R = I_{0} \frac{2 π ( f _{1} - f _{2} )}{\frac{2 n}{f _{1} + f _{2}}}$

$F_{1} R = I_{0} \frac{2 π ( f _{1} - f _{2} ) ( f _{1} + f _{2} )}{2 n}$

$F_{1} R = I_{0} \frac{π ( f _{1}^{2} - f _{2}^{2} )}{n} ∣ : R$

$F_{1} = \frac{I _{0}}{R} \frac{π ( f _{1}^{2} - f _{2}^{2} )}{n}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$F_{1} = \frac{0 , 38 kg \cdot m ^{2}}{0 , 36 m} \cdot \frac{3 , 14 \cdot ( ( 10 Hz ) ^{2} - ( 2 Hz ) ^{2} )}{16} \approx 1, 0556 kg \cdot m \frac{3 , 14 \cdot ( 100 Hz ^{2} - 4 Hz ^{2} )}{16} =$