Dane:

$a=2\mathrm{m}$

$b=1\mathrm{m}$

$F_1=200\mathrm{N}$

$F_2=300\mathrm{N}$

${\alpha }_1=60^{\circ }$

${\alpha }_2=30^{\circ }$

Szukane:

$M=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest ustalenie wypadkowego momentu sił działającego na kontener. 

Każda z sił przyłożonych do kontenera spowoduje powstanie momentu siły. Wypadkowy moment siły będzie sumą momentów sił, którymi działają pracownicy na kontener.

$M=M_1+M_2$

gdzie:

$M$ - wartość wypadkowego momentu siły,

$M_1$ - wartość momentu siły od pierwszego pracownika,

$M_2$ - wartość momentu siły od drugiego pracownika.

WARTOŚĆ MOMENTU SIŁY Wartość momentu siły wyrażamy jako: $M=rF\sin \alpha$ gdzie: $M$ - wartość momentu siły, $r$ - długość ramienia siły, $F$ - wartość siły działającej na bryłę sztywną, $\alpha$ - kąt pomiędzy ramieniem siły a wektorem siły.

Żeby poprawnie określić kąt między wektorem ramienia siły i wektorem siły przenosimy ramię siły do punktu zaczepienia siły. Zaznaczamy mniejszy z kątów między wektorami.

Wyznaczmy wartości poszczególnych momentów sił:

$M_1=r{F}_1\sin {\gamma }_1$

$M_2=r{F}_2\sin {\gamma }_2$

Korzystając z rysunku, możemy zapisać, że:

$180^{\circ }={\gamma }_1+{\alpha }_1+{\beta }_1⟶{\gamma }_1=180^{\circ }-{\alpha }_1-{\beta }_1$

$180^{\circ }={\gamma }_2+{\alpha }_2+{\beta }_2⟶{\gamma }_2=180^{\circ }-{\alpha }_2-{\beta }_2$

oraz:

${\beta }_1={\beta }_2=\beta$

Zatem:

${\gamma }_1=180^{\circ }-{\alpha }_1-\beta$

${\gamma }_2=180^{\circ }-{\alpha }_2-\beta$

Musimy wyznaczyć wartość kąta $\beta$.

$\mathrm{tg}\beta =\frac{b}{a}$  

$\mathrm{tg}\beta =\frac{1\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=0,5$  
Stąd:

$\mathrm{tg}\beta =0,5⟶\beta \approx {26,6}^{\circ }$  

Otrzymujemy:

${\gamma }_1=180^{\circ }-60^{\circ }-26,6^{\circ }=93,4^{\circ }$

${\gamma }_2=180^{\circ }-30^{\circ }-26,6^{\circ }=123,4^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość ramienia sił:

${\left(2r\right)}^2=a^2+b^2$  

$4r^2=a^2+b^2\mid :4$  

$r^2=\frac{1}{4}\left(a^2+b^2\right)$  

Pierwiastkujemy: 

$r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$  

Otrzymujemy:

$M_1=r{F}_1\sin {\gamma }_1$

$M_2=r{F}_2\sin {\gamma }_2$

Stąd:

$M_1=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}{F}_1\sin {\gamma }_1$

$M_2=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}{F}_2\sin {\gamma }_2$

Wypadkowy moment siły wyniesie:

$M=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}{F}_1\sin {\gamma }_1+\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}{F}_2\sin {\gamma }_2=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}(F_1\sin {\gamma }_1+F_2\sin {\gamma }_2)$

Obliczmy wartość wypadkowego momentu siły:

$M=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(2\mathrm{m}\right)}^2+{\left(1\mathrm{m}\right)}^2}\cdot \left(200\mathrm{N}\cdot \sin 93,4^{\circ }+300\mathrm{N}\cdot \sin 123,4^{\circ }\right)=$

$\approx \frac{1}{2}\sqrt{5{\mathrm{m}}^2}\cdot \left(200\mathrm{N}\cdot 0,9982+300\mathrm{N}\cdot 0,8348\right)\approx 1,118\mathrm{m}\cdot (199,64\mathrm{N}+250,44\mathrm{N})\approx 503,2\mathrm{N}$

Siły powodują obrót kontenera przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, czyli moment siły zwrócony jest przed powierzchnię kartki.

Zatem wypadku moment siły skierowany jest prostopadle do powierzchni kartki i zwrócony przez nią.