Dane:

W treści zadania mamy podane:

$d=154\mathrm{m}$

$n=20$

$t=1\min =60\mathrm{s}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżona wartość liczby pi: $\pi =3,14$.

Szukane:

$v_1=\text{?}$

$v_2=\text{?}$

${\omega }_1=\text{?}$

${\omega }_2=\text{?}$

Rozwiązanie:

W treści zadania mamy przedstawiony wirnik o długości łopat $d$:

Zatem $d$ jest średnicą okręgu jaki zataczają końce łopat. Interesuję nas dwa punkty znajdujące się na:

▶ końcu jednej z łopat,

▶ w ¹/₄ długości łopaty od jej osi obrotu.

Oznaczamy więc te punkty odpowiednio kropką koloru fioletowego oraz kropką koloru zielonego:

Korzystając z powyższego rysunku możemy odczytać promień okręgu po jakim porusza się ciało jeżeli znajduję się na końcu łopaty:

$r_1=\frac{1}{2}d$

Natomiast dla punktu znajdującego się w odległości ¹/₄ od osi obrotu mamy:

$r_2=\frac{1}{4}{r}_1$

$r_2=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}d$

$r_2=\frac{1}{8}d$

Wartość prędkości kątowej opisuje wzór:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej,

$\pi$ - liczba pi,

$T$ - okres obrotu.

Okres drgań (obrotu) jest czasem trwania jednego pełnego drgania (obrotu). Możemy go wyznaczyć jako iloraz całkowitego czasu trwania drgań (obrotów) do liczby drgań (obrotów):

$T=\frac{t}{n}$

gdzie:

$T$ - okres drgań (obrotów),

$t$ - czas trwania drgań (obrotów),

$n$ - liczba drgań (obrotów).

Zatem wzór na wartość prędkości kątowej przyjmuję postać:

$\omega =\frac{2\pi }{\frac{t}{n}}$

$\omega =\frac{2\pi n}{t}$

Zauważmy, że wartość prędkości kątowej nie zależy od promienia po jakim porusza się ciało, zatem w naszym przypadku oba punktu będą miały tę samą wartość prędkości kątowej, ponieważ wykonują taką samą ilość obrotów w tym samym czasie:

${\omega }_1={\omega }_2=\omega$

Wracamy do wzoru na wartość prędkości kątowej, wprowadzamy dane i obliczamy:

$\omega =\frac{2\cdot 3,14\cdot 20\mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}=$

$=\frac{6,28\cdot 20}{60}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=$

$=\frac{125,6}{60}\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=$

$\approx 2,09\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

 

Szybkość liniową ciała w ruchu obrotowym możemy przedstawić za pomocą szybkości kątowej oraz promienia zależnością:

$v=\omega r$

gdzie:

$v$ - wartość prędkości liniowej,

$\omega$ - wartość prędkości kątowej,

$r$ - promień okręgu.

Widzimy, że wartość prędkości liniowej jest zależna od promienia okręgu po jakim porusza się ciało. Zatem każdy z punktów będzie posiadał inną wartość prędkości liniowej. Korzystając z powyższej zależności zapiszemy wzory na wartości prędkości liniowej dla każdego z punktu:

▶ punkt pierwszy:

$v_1=\omega r_1$

$v_1=\frac{2\pi n}{t}\cdot \frac{1}{2}d$

$v_1=\frac{\pi nd}{t}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v_1=\frac{3,14\cdot 20\cdot 154\mathrm{m}}{60\mathrm{s}}=$

$=\frac{3,14\cdot 20\cdot 154}{60}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$

$=\frac{62,8\cdot 154}{60}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$

$=\frac{9671,2}{60}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$

$\approx 161,2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

 

▶ punkt drugi:

$v_2=\omega r_2$

$v_2=\frac{2\pi n}{t}\cdot \frac{1}{8}d$

$v_2=\frac{\pi nd}{4t}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v_2=\frac{3,14\cdot 20\cdot 154\mathrm{m}}{4\cdot 60\mathrm{s}}=$

$=\frac{3,14\cdot 20\cdot 154}{4\cdot 60}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$

$=\frac{62,8\cdot 154}{240}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$

$=\frac{9671,2}{240}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=$

$\approx 40,3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

 

Odpowiedź: Oba te punkty poruszają się z prędkością kątową o tej samej wartości równej około 2,09 ^rad/_s. Natomiast wartości prędkości liniowej mają różne i tak, punkt najdalej oddalony od osi obrotu porusza się z szybkością liniową równą około 161,2 ^m/_s, a punkt położony bliżej osi obrotu porusza się z prędkością liniową o wartości około 40,3 ^m/_s.