Cztery bilardowe kule leżą w jednakowych odległościach...- Zadanie 5.12.: Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Uzasadnienie:

Naszym zadaniem jest stwierdzenie, jaką szybkość będzie miała ostatnia kula po serii zderzeń. Zacznijmy od rozważenia pojedynczego zderzenie dwóch kul. Wiemy, że kule bilardowe nie sklejają się na skutek zderzenia, więc potraktujemy to zderzenie jako idealnie sprężyste. W takim zderzeniu zachowana jest zarówno energia kinetyczna jak i pęd. W związku z tym rozważmy, jak te wielkości wyglądają przed zderzeniem i po nim.

Przed zderzeniem:

Wiemy, że przed zderzeniem porusza się tylko jedna kula - nazwiemy ją pierwszą - natomiast druga kula pozostaje w spoczynku. W związku z tym tylko pierwsza kula posiada pęd oraz energię kinetyczną. Wartość pędu możemy obliczyć ze wzoru:

$p = m v$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - szybkość ciała.

Przyjmijmy, że kierunek i zwrot osi pokrywa się z prędkością poruszającej się kuli. Korzystając z tej informacji, możemy przepisać powyższe wyrażenie dla tego przypadku w następujący sposób:

$p_{0} = m v_{0}$

gdzie:

$p_{0}$ - wartość pędu pierwszej kuli przed zderzeniem,

$v_{0}$ - szybkość, z jaką poruszała się pierwsza kula przed zderzeniem.

Powyższe pęd jest całkowitym pędem układu, więc możemy zapisać:

$p_{c 0} = p_{0}$

gdzie:

$p_{c 0}$ - wartość pędu całkowitego przed zderzeniem.

Do powyższego równania możemy podstawić wzór na wartość pędu pierwszej kuli przed zderzeniem i wówczas otrzymujemy:

$p_{c 0} = m v_{0}$

Energia kinetyczna jest dana wzorem:

$E_{k} = \frac{m v ^{2}}{2}$

gdzie:

$E_{k}$ - energia kinetyczna.

Dla tego przypadku możemy zapisać:

$E_{k 0} = \frac{m v _{0}^{2}}{2}$

gdzie:

$E_{k 0}$ - energia kinetyczna pierwszej kuli przed zderzeniem.

Jedynie pierwsza kula się porusza, więc całkowita energia kinetyczna przed zderzeniem jest jej równa. W związku z tym możemy zapisać:

$E_{k c 0} = E_{k 0}$

gdzie:

$E_{k c 0}$ - całkowita energia kinetyczna przed zderzeniem.

Gdy podstawimy do powyższego otrzymany przez nas wzór na energię kinetyczną, otrzymujemy:

$E_{k c 0} = \frac{m v _{0}^{2}}{2}$

Po zderzeniu:

W tej sytuacji, bez straty ogólności, możemy założyć, że po zderzeniu obie kule poruszają się w kierunku i zwrocie zgodnym z osią przyjętą przed zderzeniem. W związku z tym widzimy, że wartość pędu całkowitego w tej sytuacji jest dana wzorem:

$p_{c 1} = p_{1} + p_{2}$

gdzie:

$p_{c 1}$ - wartość pędu całkowitego po zderzeniu,

$p_{1}$ - wartość pędu pierwszej kuli po zderzeniu,

$p_{2}$ - wartość pędu drugiej kuli po zderzeniu.

Wartości pędów poszczególnych kul możemy wyznaczyć, korzystając ze wzoru na wartość pędu. Wówczas:

$p_{1} = m v_{1}$ oraz $p = m v_{2}$

gdzie:

$v_{1}$ - szybkość pierwszej kuli po zderzeniu,

$v_{2}$ - szybkość drugiej kuli po zderzeniu.

W związku z tym możemy zapisać:

$p_{c 1} = m v_{1} + m v_{2}$

Obie kulki poruszają się, więc posiadają energię kinetyczną i możemy zapisać:

$E_{k c 1} = E_{k 1} + E_{k 2}$

gdzie:

$E_{k c 1}$ - całkowita energia kinetyczna po zderzeniu,

$E_{k 1}$ - energia kinetyczna pierwszej kuli po zderzeniu,

$E_{k 2}$ - energia kinetyczna drugiej kuli po zderzeniu.

Korzystając ze wzoru na energię kinetyczną, możemy zapisać wyrażenia dla powyższych energii:

$E_{k 1} = \frac{m v _{1}^{2}}{2}$ oraz $E_{k 2} = \frac{m v _{2}^{2}}{2}$

gdzie:

$v_{1}$ - szybkość pierwszej kuli po zderzeniu,

$v_{2}$ - szybkość drugiej kuli po zderzeniu.

Podstawiając powyższe do wzoru na całkowitą energię kinetyczną po zderzeniu:

$E_{k c 1} = \frac{m v _{1}^{2}}{2} + \frac{m v _{2}^{2}}{2}$

Jak wcześniej wspomnieliśmy, w zderzeniu idealnie sprężystym zachowana musi być zarówno energia kinetyczna, jak i pęd. Zacznijmy od energii - możemy zapisać:

$\frac{m v _{0}^{2}}{2} = \frac{m v _{1}^{2}}{2} + \frac{m v _{2}^{2}}{2}$

Powyższe równanie można uprościć:

$\frac{m v _{0}^{2}}{2} = \frac{m v _{1}^{2}}{2} + \frac{m v _{2}^{2}}{2} : \frac{m}{2}$

$v_{0}^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$

Wiemy również, że pęd musi zostać zachowany. Choć pęd jest wielkością wektorową, to ponieważ przyjęliśmy konkretną oś i konsekwentnie stosowaliśmy znaki przy zapisie poszczególnych pędów, obliczone przez nas wartości muszą być sobie równe. W związku z tym możemy zapisać:

$p_{c 0} = p_{c 1}$

$m v_{0} = m v_{1} + m v_{2}$

Upraszczamy równanie dzieląc obie strony przez masę i otrzymujemy:

$v_{0} = v_{1} + v_{2}$

W ten sposób otrzymujemy zestaw dwóch równań:

${v_{0} = v_{1} + v_{2} v_{0}^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$

Chcemy wyznaczyć, z jaką szybkością porusza się druga kula, więc przekształcamy pierwsze równanie tak, aby otrzymać wzór na szybkość pierwszej kuli po zderzeniu:

${v_{0} = v_{1} + v_{2} ∣ - v_{2} v_{0}^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$

${v_{0} - v_{2} = v_{1} v_{0}^{2} = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$

Podstawiając tak otrzymany wzór do drugiego równania:

$v_{0}^{2} = (v_{0} - v_{2})^{2} + v_{2}^{2}$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia możemy zapisać:

$v_{0}^{2} = v_{0}^{2} - 2 v_{0} v_{2} + v_{2}^{2} + v_{2}^{2}$

Przekształcamy równanie tak, aby otrzymać wzór na szybkość drugiej kuli po zderzeniu:

$v_{0}^{2} = v_{0}^{2} - 2 v_{0} v_{2} + 2 v_{2}^{2} - v_{0}^{2}$

$0 = - 2 v_{0} v_{2} + 2 v_{2}^{2} ∣ + 2 v_{0} v_{2}$

$2 v_{0} v_{2} = 2 v_{2}^{2} ∣ : 2 v_{2}$

$v_{0} = v_{2}$

Zatem widzimy, że spoczywająca kulka uzyskuje taką samą szybkość jak kulka, która ją uderza.

W sytuacji opisanej w naszym zadaniu ruchoma kulka uderza w pierwszą z czterech nieruchomych kulek. Zgodnie z wynikiem naszych obliczeń kulka po uderzeniu uzyskuje taką samą szybkość. Następnie toczy się i uderza kolejną kulkę, wprawiając ją w ruch z taką samą szybkością, jaką miała sama. Sytuacja powtarza się aż do ostatniej kulki, więc widzimy, że szybkość, jaką uzyska ostatnia kulka, będzie taka sama, jaką miała kulka poruszająca się na początku.

Odpowiedź:

d) $10 \frac{m}{s}$