Tor żużlowy w Toruniu ma długość s = 325 m. Długości...- Zadanie Zadanie 2. Tor żużlowy: Zrozumieć fizykę 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Dane:

$s = 325 m$

$l = 62 m$

$R = 31 m$

$d = 1 m$

$v = 57, 6 \frac{km}{h} = 16 \frac{m}{s}$

$2.1$

Szukane:

$t = ?$

Rozwiązanie:

Interesuje nas czas, w jakim zawodnik rozpędza się z prędkości zerowej od punktu startowego do prędkości $v$ w punkcie, w którym wjeżdża na pierwszy zakręt. Z rysunku przedstawionego w treści zadania odczytujemy, że odległość między tymi punktami jest równa połowie długości prostego odcinka toru:

$s = \frac{l}{2}$

Zawodnik rozpędza się od prędkości równej zero do prędkości o wartości $v$ na odległości $s$ . Przyjmujemy, że zawodnik porusza się ze stałym przyspieszeniem, czyli porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową równą zero. Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Zmiana szybkości zawodnika jest równa wartości prędkości $v$ , ponieważ zawodnik rozpędza się od prędkości równej zero. Zatem:

$Δ v = v$

Wówczas:

$a = \frac{v}{t}$

Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,

$t$ - czas ruchu ciała.

Jednak w naszym przypadku prędkość początkowa zawodnika jest równa zero. Wówczas:

$s = \frac{1}{2} a t^{2}$

Wprowadzamy wzór na wartość przyspieszenia ciała:

$s = \frac{1}{2} \frac{v}{t} t^{2^{1}}$

$s = \frac{1}{2} v t$

Przekształcamy powyższy wzór:

$\frac{1}{2} v t = s ∣ \cdot 2$

$v t = 2 s ∣ : v$

$t = \frac{2 s}{v}$

Wprowadzamy wzór na drogę przebytą przez zawodnika:

$t = \frac{2 \frac{l}{2}}{v}$

$t = \frac{l}{v}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$t = \frac{62 m}{16 \frac{m}{s}} =$

$= \frac{62}{16} m \cdot \frac{s}{m} = 3, 875 s$

Odpowiedź: Czas, w jakim zawodnik rozpędzi się do prędkości maksymalnej na pokonanie zakrętu wynosi 3,875 s.

$2.2$

Dane:

$t = 2 s$

$v_{1} = 90 \frac{km}{h} = 25 \frac{m}{s}$

Szukane:

$s = ?$

Rozwiązanie:

Zgodnie z treścią zadania zawodnik po pokonaniu zakrętu rozpędza się z prędkości $v$ od prędkości $v_{1}$ w czasie $t$ . Zakładamy, że zawodnik porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym ze stałym przyspieszeniem. Drogę jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,

$t$ - czas ruchu ciała.

W tym przypadku prędkość początkowa zawodnika ma wartość:

$v_{0} = v$

Nie mamy podanej wartości przyspieszenia, ale korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Czas, w jakim zawodnik przyspiesza, jest równy:

$Δ t = t$

Zmiana szybkości zawodnika jest równa różnicy wartości prędkości końcowej i wartości prędkości początkowej:

$Δ v = v_{k} - v_{p}$

gdzie:

$v_{k}$ - wartość prędkości końcowej,

$v_{p}$ - wartość prędkości początkowej.

W naszym przypadku zapiszemy:

$Δ v = v_{1} - v$

Wracamy do wzoru na wartość przyspieszenia:

$a = \frac{v _{1} - v}{t}$

Przechodzimy do wzoru na drogę, jaką przebędzie zawodnik:

$s = v t + \frac{1}{2} a t^{2}$

Wprowadzamy wzór na wartość przyspieszenia:

$s = v t + \frac{1}{2} \frac{v _{1} - v}{t} t^{2^{1}}$

$s = v t + \frac{1}{2} (v_{1} - v) t$

$s = v t + \frac{1}{2} v_{1} t - \frac{1}{2} v t$

$s = \frac{1}{2} v t + \frac{1}{2} v_{1} t$

$s = \frac{1}{2} (v_{1} + v) t$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$s = \frac{1}{2} \cdot (25 \frac{m}{s} + 16 \frac{m}{s}) \cdot 2 s =$

$= 41 \frac{m}{s} \cdot s = 41 m$

Odpowiedź: Zawodnik przebędzie drogę równą 41 m.

$2.3$

Dane:

Z poprzedniego podpunktu:

$s = 41 m$

Szukane:

$t = ?$

Rozwiązanie:

Zadaniem naszym jest wyznaczenie czasu, w jakim motocyklista zwalnia z prędkości $v_{1}$ do prędkości $v$ . Przyjmujemy, że motocyklista porusza się ze stałym opóźnieniem, czyli porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym. Zgodnie z poprzednim punktem motocyklista najpierw rozpędził się od prędkości $v$ do prędkości $v_{1}$ na prostym odcinku drogi. Wówczas przebył drogę równą:

$s = 41 m$

Całkowita długość prostego odcinka jest równa:

$l = 62 m$

Zatem odległość, na jakiej motocyklista może zwalniać, aż do wjechania w drugi zakręt, jest równa różnicy całkowitej długości prostego odcinka i drogi, jaką motocyklista przebył podczas rozpędzania:

$s_{x} = l - s$

Z drugiej strony, motocyklista porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, a drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie opóźnionym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s = v_{0} t - \frac{1}{2} a t^{2}$

gdzie:

$s$ - droga pokonana przez ciało,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało (opóźnienie),

$t$ - czas ruchu ciała.

W tym przypadku prędkość początkowa motocyklisty wynosi:

$v_{0} = v_{1}$

Wówczas:

$s_{x} = v_{1} t - \frac{1}{2} a t^{2}$

Nie znamy opóźnienia motocyklisty, ale wiemy, że wartość przyspieszenia (opóźnienia) opisuje wzór:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Motocyklista zmienia prędkość z $v_{1}$ do $v$ , ale nas interesuje wartość zmiany prędkości. Zapiszemy więc:

$Δ v = v_{1} - v$

Wówczas wartość opóźnienia opisuje wzór:

$a = \frac{v _{1} - v}{t}$

Wracamy do wzoru na drogę, jaką przebędzie motocyklista w ruchu jednostajnie opóźnionym:

$s_{x} = v_{1} t - \frac{1}{2} a t^{2}$

Wprowadzamy wzór na wartość opóźnienia:

$s_{x} = v_{1} t - \frac{1}{2} \frac{v _{1} - v}{t} t^{2^{1}}$

$s_{x} = v_{1} t - \frac{1}{2} (v_{1} - v) t$

$s_{x} = v_{1} t - \frac{1}{2} v_{1} + \frac{1}{2} v t$

$s_{x} = \frac{1}{2} v_{1} t + \frac{1}{2} v t$

$s_{x} = \frac{1}{2} (v_{1} + v) t ∣ \cdot 2$

$2 s_{x} = (v_{1} + v) t ∣ : v_{1} + v$

$\frac{2 s _{x}}{v _{1} + v} = t$

$t = \frac{2 s _{x}}{v _{1} + v}$

Z drugiej strony wiemy, że:

$s_{x} = l - s$

Wówczas:

$t = \frac{2 ( l - s )}{v _{1} + v}$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$t = \frac{2 \cdot ( 62 m - 41 m )}{25 \frac{m}{s} + 16 \frac{m}{s}} =$

$= \frac{2 \cdot 21 m}{41 \frac{m}{s}} =$

$= \frac{42}{41} m \cdot \frac{s}{m} \approx 1, 02 s$

Odpowiedź: Motocyklista zwalnia w ciągu około 1,02 s.

$2.4$

Dane:

$v_{0} = 0, 5 v$

$a = 3 \frac{m}{s ^{2}}$

Szukane:

$v_{k} = ?$

Rozwiązanie:

Motocyklista rozpędza się z przyspieszeniem $a$ na prostym odcinku o długości $l$ z prędkości $v_{0}$ . Interesuje nas prędkość $v_{k}$ , jaką motocyklista uzyska w trakcie przyspieszania na prostym odcinku. Przyjmujemy, że motocyklista porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Korzystając z definicji przyspieszenia wiemy, że jego wartość możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$a = \frac{Δ v}{Δ t}$

gdzie:

$a$ - wartość przyspieszenia,

$Δ v$ - zmiana szybkości ciała,

$Δ t$ - czas, w jakim zmienia się szybkość.

Zmiana szybkości motocyklisty jest równa różnicy wartości prędkości końcowej i wartości prędkości początkowej:

$Δ v = v_{k} - v_{0}$

Wówczas wzór na wartość przyspieszenia przyjmie postać:

$a = \frac{v _{k} - v _{0}}{t}$

Z drugiej strony wiemy, że motocyklista przebywa drogę równą długości prostego odcinka:

$s = l$

Drogę, jaką przebędzie ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

gdzie:

$s$ - droga przebyta przez ciało,

$v_{0}$ - wartość prędkości początkowej ciała,

$a$ - wartość przyspieszenia, z jakim porusza się ciało,

$t$ - czas ruchu ciała.

Nie znamy czasu, w jakim motocyklista przebywa tę odległość, ale możemy wyznaczyć jej wzór ze wzoru na wartość przyspieszenia:

$a = \frac{v _{k} - v _{0}}{t} ∣ \cdot t$

$a t = v_{k} - v_{0} ∣ : a$

$t = \frac{v _{k} - v _{0}}{a}$

Wracamy do wzoru na drogę, jaką przebędzie motocyklista:

$s = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$

Wprowadzamy wzór na czas:

$s = v_{0} \frac{v _{k} - v _{0}}{a} + \frac{1}{2} a (\frac{v _{k} - v _{0}}{a})^{2}$

$s = \frac{1}{a} (v_{0} v_{k} - v_{0}^{2}) + \frac{1}{2} a \frac{( v _{k} - v _{0} ) ^{2}}{a ^{2^{1}}}$

$s = \frac{1}{a} (v_{0} v_{k} - v_{0}^{2}) + \frac{1}{2} \frac{1}{a} (v_{k}^{2} - 2 v_{k} v_{0} + v_{0}^{2})$

$s = \frac{1}{a} (v_{0} v_{k} - v_{0}^{2} + \frac{1}{2} v_{k}^{2} - \frac{1}{2} 2 v_{k} v_{0} + \frac{1}{2} v_{0}^{2})$

$s = \frac{1}{a} (v_{0} v_{k} - v_{0}^{2} + \frac{1}{2} v_{k}^{2} - v_{0} v_{k} + \frac{1}{2} v_{0}^{2})$

$s = \frac{1}{a} (\frac{1}{2} v_{k}^{2} - \frac{1}{2} v_{0}^{2})$

$s = \frac{1}{a} \frac{1}{2} (v_{k}^{2} - v_{0}^{2}) ∣ \cdot 2 a$

$2 a s = v_{k}^{2} - v_{0}^{2} + v_{0}^{2}$

$2 a s + v_{0}^{2} = v_{k}^{2}$

$v_{k} = v_{0}^{2} + 2 a s$

Wiemy, że:

$s = l$

$v_{0} = 0, 5 v$

Wówczas:

$v_{k} = (0, 5 v)^{2} + 2 a l$

Wprowadzamy dane i obliczamy:

$v_{k} = (0, 5 \cdot 16 \frac{m}{s})^{2} + 2 \cdot 3 \frac{m}{s ^{2}} \cdot 62 m =$

$= (8 \frac{m}{s})^{2} + 6 \cdot 62 \frac{m ^{2}}{s ^{2}} =$

$= 64 \frac{m}{s ^{2}} + 372 \frac{m ^{2}}{s ^{2}} =$

$= 436 \frac{m ^{2}}{s ^{2}} \approx 20, 9 \frac{m}{s}$

Zamieniamy jednostkę wartości prędkości z ^m/_s na ^km/_h:

$v_{k} = 2 0, 9 \cdot \frac{1 m}{1 s} = 20, 9 \cdot \frac{0 , 001 km}{\frac{1}{3 600} h} =$

$= 20, 9 \cdot 0, 001 \cdot 3600 \frac{km}{h} =$

$= 20, 9 \cdot 3, 6 \frac{km}{h} = 75, 24 \frac{km}{h} \approx 75 \frac{km}{h}$

Odpowiedź: Prędkość, jaką uzyska motocyklista wynosi około 75 ^km/_h i nie jest to bezpieczna prędkość, ponieważ prędkość ta ma większą wartość od prędkości, z jaką można pokonać zakręt.