$\mathbf{a})$  

Naszym zadaniem jest określenie wartości prędkości końcowej ciał po zderzeniu, jeżeli:

→ mamy dwa identyczne ciała o masach $m_1=m$ i $m_2=m$, 

→ ciało pierwsze uderza w ciało drugie z szybkością: $u_1=v$,

→ drugie ciało spoczywa: $u_2=0$,  

→ zderzenie jest niesprężyste, 

→ ciała łączą się po zderzeniu. 

Pęd jest wielkością wektorową, której kierunek i zwrot są zgodne z kierunkiem i zwrotem wektora prędkości poruszającego się ciała:

$\vec{p}=m\vec{v}$

gdzie:

$\vec{p}$ - wektor pędu ciała,

$m$ - masa ciała,

$\vec{v}$ - wektor prędkości ciała.

Wartość pędu możemy wyrazić jako:

$p=mv$

gdzie:

$p$ - wartość pędu ciała,

$v$ - wartość prędkości ciała.

Początkowo pierwsze ciało porusza się z pewną szybkością $u_1$, czyli jego pęd wynosi:

$p_1=m_1{u}_1$

gdzie:

$p_1$ - wartość pędu pierwszego ciała przed zderzeniem, 

$m_1$ - masa pierwszego ciała przed zderzeniem, 

$u_1$ - szybkość pierwszego ciała przed zderzeniem. 

Drugie ciało początkowo spoczywa, czyli:

$p_2=0$

gdzie:

$p_2$ - wartość pędu drugiego ciała przed zderzeniem.

Zatem pęd początkowy układu przed zderzeniem ma postać:

$p_{\text{przed}}=p_1+p_2$

$p_{\text{przed}}=m_1{u}_1+0$

$p_{\text{przed}}=mv$

gdzie:

$p_{\text{przed}}$ - wartość pędu układu przed zderzeniem. 

Po zderzeniu oba ciała łączą się ze i poruszają się razem ze stałą szybkością:

$p_{\text{po}}=M{v}_k$

gdzie:

$p_{\text{po}}$ - wartość pędu układu po zderzeniu, 

$M$ - masa obu ciał po zderzeniu, 

$v_k$ - szybkość końcowa z jaką poruszają się te ciała. 

Wiemy, że:

$M=m_1+m_2$

$M=m+m$

$M=2m$

Z tego wynika, że:

$p_{\text{po}}=2m{v}_k$

Zgodnie z zasadą zachowania pędu, pęd układu nie ulega zmianie w czasie zderzenia. Oznacza to, że wartość pędu układu po zderzeniu jest równa wartości pędu układu przed zderzeniem:

$p_{\text{po}}=p_{\text{przed}}$

Wówczas szybkość końcowa ciał po zderzeniu ma postać:

$2m{v}_k=mv|:2m$

$v_k=\frac{\cancel{m}v}{2\cancel{m}}$

$v_k=\frac{v}{2}$

 

$\mathbf{b})$  

UWAGA! Ten typ zadania jest zadaniem indywidualnym. Oznacza to, że każdy powinien wykonać je samodzielnie. Poniżej przedstawiamy przykładowy sposób jego rozwiązania.

Naszym zadaniem jest podanie trzech przykładów wartości prędkości ciał po zderzeniu, gdy zderzenie jest niesprężyste, ale ciała się nie łączą.  

Zachowujemy przy tym warunki początkowe, czyli:

→ mamy dwa identyczne ciała o masach $m_1=m$ i $m_2=m$, 

→ ciało pierwsze uderza w ciało drugie z szybkością: $u_1=v$,

→ drugie ciało spoczywa: $u_2=0$.  

Jak wiemy,  pęd układu przed zderzeniem ma postać (to wiemy z poprzedniego podpunktu):

$p_{\text{przed}}=mv$

Po zderzeniu wartość pędu pierwszego ciała możemy przedstawić wzorem:

$p_1=m{v}_1$

gdzie:

$v_1$ - szybkość pierwszego ciała po zderzeniu. 

Wartość pędu drugiego ciała po zderzeniu będzie miała postać:

$p_2=m{v}_2$

gdzie:

$v_2$ - szybkość drugiego ciała po zderzeniu. 

Zatem pęd układu po zderzeniu wynosi:

$p_{\text{po}}=p_1+p_2$

$p_{\text{po}}=m{v}_1+m{v}_2$

$p_{\text{po}}=m\left(v_1+v_2\right)$

Korzystając z zasady zachowania pędu otrzymamy:

$p_{\text{po}}=p_{\text{przed}}$

$\cancel{m}\left(v_1+v_2\right)=\cancel{m}v$

$v_1+v_2=v$

Zauważmy, że każdy przypadek, w którym suma szybkości po zderzeniu jest równa początkowej szybkości pierwszego ciała spełnia warunki tego zadania. Ważne jest, aby pamiętać, że szybkość żadnego z ciał po zderzeniu nie może być większa niż szybkość początkowa pierwszego ciała, czyli niż $v$. Dlatego, aby zachować równowagę w równaniach, przed żadną z szybkości nie możemy postawić znaku minus. Oznacza to, że po zderzeniu ciała poruszają się z prędkości o tym samym kierunku i zwrocie co początkowo pierwsze ciało.

Podajmy trzy przykłady:

▶ przykład 1: po zderzeniu ciało pierwsze porusza się z prędkości o wartości równej połowie szybkości początkowej, czyli drugie ciało porusza się z prędkością o takiej samej wartości:

$v_1=\frac{v}{2}$

$v_2=\frac{v}{2}$

Wówczas:

$v_1+v_2=v$

$\frac{v}{2}+\frac{v}{2}=v$

▶ przykład 2: po zderzeniu ciało pierwsze porusza się z prędkości o wartości równej jednej czwartej szybkości początkowej, czyli drugie ciało porusza się z prędkością o wartości równej trzem czwartym szybkości początkowej pierwszego ciała:

$v_1=\frac{v}{4}$

$v_2=\frac{3v}{4}$

Wówczas:

$\frac{v}{4}+\frac{3v}{4}=v$

▶ przykład 3: po zderzeniu ciało pierwsze porusza się z prędkości o wartości równej trzy ósme szybkości początkowej, czyli drugie ciało porusza się z prędkością o wartości równej pięć ósmych szybkości początkowej pierwszego ciała:

$v_1=\frac{3v}{8}$

$v_2=\frac{5v}{8}$

Wówczas:

$\frac{3v}{8}+\frac{5v}{8}=v$

 

$\mathbf{c})$  

Naszym zadaniem jest udowodnienie, że zderzenie sprężyste przebiega w doświadczeniu 33, czyli że jeżeli ciało pierwsze uderza w drugie z szybkością $v$, po czym się zatrzymuje, to drugie ciało porusza się również z szybkością $v$. 

Zachowujemy przy tym warunki początkowe, czyli:

→ mamy dwa identyczne ciała o masach $m_1=m$ i $m_2=m$, 

→ ciało pierwsze uderza w ciało drugie z szybkością: $u_1=v$,

→ drugie ciało spoczywa: $u_2=0$.  

Wówczas wartość pędu przed zderzeniem ma postać (wiemy to z poprzednich podpunktów):

$p_{\text{przed}}=mv$

Po zderzeniu pierwsze ciało ma pęd o wartości:

$p_1=m_1{v}_1$

gdzie:

$p_1$ - wartość pędu pierwszego ciała po zderzeniu sprężystym,

$m_1$ - masa pierwszego ciała, 

$v_1$ - szybkość pierwszego ciała po zderzeniu sprężystym. 

Drugie natomiast ma pęd o wartości:

$p_2=m{v}_2$

gdzie:

$p_2$ - wartość pędu drugiego ciała po zderzeniu sprężystym, 

$m_2$ - masa drugiego ciała, 

$v_2$ - szybkość drugiego ciała po zderzeniu sprężystym. 

Wartość pędu układu po zderzeniu będzie zatem wynosiła:

$p_{\text{po}}=p_1+p_2$

$p_{\text{po}}=m{v}_1+m{v}_2$

Korzystając z zasady zachowania pędu otrzymamy:

$p_{\text{przed}}=p_{\text{po}}$

$mv=m{v}_1+m{v}_2|:m$

$v=v_1+v_2$

Zderzenie jest sprężyste, czyli spełniona jest również zasada zachowania energii. W tym przypadku ciała porusza się ruchem postępowym i nie zmieniają swojej wysokości nad podłożem, czyli rozważamy wyłącznie energie kinetyczne. 

Energię kinetyczną ciała obliczyć możemy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$v$ - szybkość, z jaką ciało się porusza. 

Zatem dla pierwszego ciała przed zderzeniem energia ta ma postać:

$E_{k.0.1}=\frac{1}{2}{m}_1{u}_1^2$

$E_{k.0.1}=\frac{1}{2}m{v}^2$

Dla drugiego ciała przed zderzeniem otrzymamy:

$E_{k.0.2}=\frac{1}{2}{m}_2{u}_2^2$

$E_{k.0.2}=\frac{1}{2}m\cdot 0^2$

$E_{k.0.2}=0$

Po zderzeniu pierwsze ciało ma energię kinetyczną równą:

$E_{k.1}=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2$

$E_{k.1}=\frac{1}{2}m{v}_2^2$

Drugie ciało po zderzeniu ma energię kinetyczną równą:

$E_{k.2}=\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2$

$E_{k.2}=\frac{1}{2}m{v}_2^2$

Z zasady zachowania energii otrzymamy równanie:

$E_{k.0.1}+E_{k.0.2}=E_{k.1}+E_{k.2}$

$\frac{1}{2}m{v}^2+0=\frac{1}{2}m{v}_1^2+\frac{1}{2}m{v}_2^2|\cdot \frac{2}{m}$

$v^2=v_1^2+v_2^2$

Otrzymaliśmy dwa równania. Zapisujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}v=v_1+v_2\\ v^2=v_1^2+v_2^2\end{array}$

Wyznaczmy wielkości $v_1$ i $v_2$. Zacznijmy od odjęcia z każdego równania czynnika zawierającego $v_1$:

$\{\begin{array}{l}v=v_1+v_2|-v_1\\ v^2=v_1^2+v_2^2|-v_1^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}v-v_1=v_2\\ v^2-v_1^2=v_2^2\end{array}$

Do drugiego równania podstawiamy zależności na $v_2$ wyznaczoną z pierwszego równania:

$v^2-v_1^2={\left(v-v_1\right)}^2$

Zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia wiemy, że $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$. Wówczas:

$\left(v-v_1\right)\left(v+v_1\right)={\left(v-v_1\right)}^2|:\left(v-v_1\right)$

$v+v_1=v-v_1|+v_1$

$v+2v_1=v|-v$

$2v_1=0|:2$

$v_1=0$

Zatem szybkość pierwszego ciała jest zerowa. Wyznaczmy $v_2$:

$v_2=v-v_1$

$v_2=v-0$

$v_2=v$

Otrzymaliśmy, że:

$\{\begin{array}{l}{v}_1=0\\ v_2=v\end{array}$

Tym samym udowodniliśmy, że w zderzeniu sprężystym jeżeli ciało pierwsze uderza w drugie z szybkością $v$, po czym się zatrzymuje, to drugie ciało porusza się również z szybkością $v$.