Dane:

$d=400\text{m}$  

$v_{\text{ł}}=5\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$v_{\text{p}}=3\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

 

$a)$  

Aby łódka dopłynęła do przeciwległego brzegu rzeki prostopadle do kierunku prądu rzeki, to jej wypadkowa prędkość musi być skierowana prostopadle do kierunku prędkości prądu rzeki. Wówczas:

Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych możemy zauważyć, że:

$\cos \alpha =\frac{v_{\text{p}}}{v_{\text{ł}}}$  

$\cos \alpha =\frac{3\frac{\text{m}}{\text{s}}}{5\frac{\text{m}}{\text{s}}}$  

$\cos \alpha =\frac{3}{5}$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych (Podręcznik, strona 267) możemy odczytać, że:

$\alpha \approx {53}^{\circ }$  

 

$b)$  

Jeżeli łódź przepływa najpierw z wyspy po lewej stronie na wyspę po prawej stronie to płynie wraz z nurtem rzeki. Wówczas wypadkowa prędkość łodzi wynosi:

$v_1=v_{\text{ł}}+v_{\text{p}}$   

Pokonuje ona drogę $d$ . Zatem czas ruchu łodzi wynosi wówczas:

$t_1=\frac{d}{v_1}$  

Jeżeli natomiast łódź płynie z wyspy po prawej stronie na wyspę po lewej stronie to płynie pod prąd rzeki i jej wartość wypadkowej prędkości wynosi:

$v_2=v_{\text{ł}}-v_{\text{p}}$   

Zatem czas ruchu łódki wynosi:

$t_2=\frac{d}{v_2}$  

Oznacza to, że całkowity czas ruchu łodzi wynosi:

$t=t_1+t_2$  

$t=\frac{d}{v_1}+\frac{d}{v_2}$  

$t=\frac{d{v}_2}{v_1{v}_2}+\frac{d{v}_1}{v_1{v}_2}$  

$t=\frac{d{v}_2+d{v}_1}{v_1{v}_2}$  

$t=\frac{d\left(v_1+v_2\right)}{v_1{v}_2}$  

$t=\frac{d\left(v_{\text{ł}}+\cancel{v_{\text{p}}}+v_{\text{ł}}-\cancel{v_{\text{p}}}\right)}{\left(v_{\text{ł}}+v_{\text{p}}\right)\left(v_{\text{ł}}-v_{\text{p}}\right)}$  

$t=\frac{2d{v}_{\text{ł}}}{v_{\text{ł}}^2-v_{\text{p}}^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{2\cdot 400\text{m}\cdot 5\frac{\text{m}}{\text{s}}}{{\left(5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2-{\left(3\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=\frac{4000\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-9\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{4000\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{16\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=250\text{s}=$  

$=250\cdot \frac{1}{60}\text{min}\approx 4,2\text{min}$  

 

$c)$  

Jeżeli łódź płynie od brzegu do wyspy w kierunku prostopadłym do brzegu to porusza się z prędkości wypadkową jak na rysunku w podpunkcie a). Ponadto prędkość ta w obie strony będzie miała taką samą wartość. Wówczas korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy ją wyrazić zależnością:

$v^2+v_{\text{p}}^2=v_{\text{ł}}^2\mid -v_{\text{p}}^2$  

$v^2=v_{\text{ł}}^2-v_{\text{p}}^2\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{v_{\text{ł}}^2-v_{\text{p}}^2}$  

Łódź od brzegu do wyspy oraz w drugą stronę pokonuje odległość równą dwukrotności długości wyspa-brzeg:

$s=2d$  

Wówczas czas ruchu łódki będzie wynosił:

$t=\frac{s}{v}$  

$t=\frac{2d}{\sqrt{v_{\text{ł}}^2-v_{\text{p}}^2}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{2\cdot 400\text{m}}{\sqrt{{\left(5\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2-{\left(3\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}}=\frac{800\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{\sqrt{25\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}-9\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}=\frac{800\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{\sqrt{16\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}}=$  

$=\frac{800\frac{{\text{m}}^2}{\text{s}}}{4\frac{\text{m}}{\text{s}}}=200\text{s}=200\cdot \frac{1}{60}\text{min}\approx 3,3\text{min}$