$a)$  

Wiemy, że energia potencjalna klocka 3 zmalała o 2,7 J, czyli zmiana energii potencjalnej klocka 3 wynosi:

$\Delta E_{p.3}=2,7\text{J}$  

Energię potencjalną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_p=mgh$  

gdzie $E_p$  jest energią potencjalną ciała o masie $m$  znajdującego się na wysokości $h$ , na które działa przyspieszenie ziemskie $g$ . Możemy zapisać, że energia potencjalna klocka 3 na początkowej wysokości ma postać:

$E_{p.3.0}=m_{3}g{h}_0$  

Natomiast energia potencjalna tego klocka po obniżeniu będzie miała postać:

$E_{p.3.1}=m_{3}g{h}_1$  

Wówczas zmiana energii potencjalnej będzie miała postać:

$\Delta E_{p.3}=E_{p.3.0}-E_{p.3.1}$  

$\Delta E_{p.3}=m_{3}g{h}_0-3m_{3}g{h}_1$  

$\Delta E_{p.3}=m_{3}g\left(h_0-h_1\right)$  

Niech $\Delta h$  będzie zmianą wysokości. Wówczas:

$\Delta E_{p.3}=m_{3}g\Delta h$  

Zauważmy, że klocek 1 podniesie się o taką samą wysokość, jak opadnie klocek 3. Zatem zmianę energii potencjalnej klocka 1 możemy zapisać jako:

$\Delta E_{p.1}=m_{1}g\Delta h$  

$\Delta E_{p.1}=\frac{m_1}{m_3}{m}_{3}g\Delta h$  

$\Delta E_{p.1}=\frac{m_1}{m_3}\Delta E_{p.3}$  

Z rysunku widzimy, że:

$m_1=m\text{ oraz }{m}_3=3m$  

Wówczas:

$\Delta E_{p.1}=\frac{m}{3m}\Delta E_{p.3}$  

$\Delta E_{p.1}=\frac{1}{3}\Delta E_{p.3}$  

$\Delta E_{p.1}=\frac{1}{3}\cdot 2,7\text{J}$  

$\Delta E_{p.1}=0,9\text{J}$  

Ponieważ wysokość klocka 1 zwiększyła się to wartość energii potencjalnej tego klocka również wzrosła.

Odpowiedź: Przyrost energii potencjalnej klocka 1 wynosił 0,9 J.

 

$b)$  

Wiemy, że zmiany energii potencjalnej klocka 3 i 1 wynoszą:

$\Delta E_{p.3}=E_{p.3.0}-E_{p.3.1}=2,7\text{J}\text{ oraz }\Delta E_{p.1}=E_{p.1.1}-E_{p.1.0}=0,9\text{J}$  

Ponieważ klocek 2 jest na stałej wysokości to zmiana jego energii potencjalnej będzie zerowa:

$\Delta E_{p.2}=0\text{, bo }{E}_{p.2.0}=E_{p.2.1}$  

Wszystkie klocki poruszają się z taką samą wartością prędkości, ponieważ są połączone. Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie $E_k$  jest energią kinetyczną ciała o masie $m$  poruszającego się z prędkością $v$ . Zatem początkowa i końcowa energia kinetyczna dla każdego z klocków będzie miała postać:

$E_{k.1.0}=\frac{m_1{v}_0^2}{2}=\frac{m{v}_0^2}{2}$  

$E_{k.1.1}=\frac{m_1{v}^2}{2}=\frac{m{v}^2}{2}$  

$E_{k.2.0}=\frac{m_2{v}_0^2}{2}=\frac{2m{v}_0^2}{2}=2\cdot \frac{m{v}_0^2}{2}=2E_{k.1.0}$  

$E_{k.2.1}=\frac{m_2{v}^2}{2}=\frac{2m{v}^2}{2}=2\cdot \frac{m{v}^2}{2}=2E_{k.1.1}$  

$E_{k.3.0}=\frac{m_3{v}_0^2}{2}=\frac{3m{v}_0^2}{2}=3\cdot \frac{m{v}_0^2}{2}=3E_{k.1.0}$  

$E_{k.3.1}=\frac{m_3{v}^2}{2}=\frac{3m{v}^2}{2}=3\cdot \frac{m{v}^2}{2}=3E_{k.1.1}$  

Zapiszmy zasadę zachowania energii dla całego układu:

$E_{k.1.0}+E_{p.1.0}+E_{k.2.0}+E_{p.2.0}+E_{k.3.0}+E_{p.3.0}=E_{k.1.1}+E_{p.1.1}+E_{k.2.1}+E_{p.2.1}+E_{k.3.1}+E_{p.3.1}$  

$E_{k.1.0}+E_{p.1.0}+2E_{k.1.0}+\sout{E_{p.2.0}}+3E_{k.1.0}+E_{p.3.0}=E_{k.1.1}+E_{p.1.1}+2E_{k.1.1}+\sout{E_{p.2.0}}+3E_{k.1.1}+E_{p.3.1}$  

$6E_{k.1.0}+E_{p.1.0}+E_{p.3.0}=6E_{k.1.1}+E_{p.1.1}+E_{p.3.1}\mid -E_{p.3.1}-E_{p.1.0}$  

$6E_{k.1.0}+E_{p.3.0}-E_{p.3.1}=6E_{k.1.1}+E_{p.1.1}-E_{p.1.0}$  

$6E_{k.1.0}+\Delta E_{p.3}=6E_{k.1.1}+\Delta E_{p.1}\mid -6E_{k.1.0}-\Delta E_{p.1}$  

$\Delta E_{p.3}-\Delta E_{p.1}=6E_{k.1.1}-6E_{k.1.0}$  

$\Delta E_{p.3}-\Delta E_{p.1}=6\left(E_{k.1.1}-E_{k.1.0}\right)\mid :6$  

$E_{k.1.1}-E_{k.1.0}=\frac{\Delta E_{p.3}-\Delta E_{p.1}}{6}$  

Możemy zapisać, że zmiana energii kinetycznej dla pierwszego klocka ma postać:

$\Delta E_{k.1}=E_{k.1.1}-E_{k.1.0}$  

Wówczas:

$\Delta E_{k.1}=\frac{\Delta E_{p.3}-\Delta E_{p.1}}{6}$  

$\Delta E_{k.1}=\frac{2,7\text{J}-0,9\text{J}}{6}$  

$\Delta E_{k.1}=\frac{1,8\text{J}}{6}$  

$\Delta E_{k.1}=0,3\text{J}$  

Zmianę energii kinetycznej dla drugiego klocka możemy zapisać, jako:

$\Delta E_{k.2}=E_{k.2.1}-E_{k.2.0}$  

$\Delta E_{k.2}=2E_{k.1.1}-2E_{k.1.0}$  

$\Delta E_{k.2}=2\left(E_{k.1.1}-E_{k.1.0}\right)$  

$\Delta E_{k.2}=2\Delta E_{k.1}$  

$\Delta E_{k.2}=2\cdot 0,3\text{J}$  

$\Delta E_{k.2}=0,6\text{J}$  

Natomiast dla trzeciego klocka mamy:

$\Delta E_{k.3}=E_{k.3.1}-E_{k.3.0}$  

$\Delta E_{k.3}=3E_{k.1.1}-3E_{k.1.0}$  

$\Delta E_{k.3}=3\left(E_{k.1.1}-E_{k.1.0}\right)$  

$\Delta E_{k.3}=3\Delta E_{k.1}$  

$\Delta E_{k.3}=3\cdot 0,3\text{J}$  

$\Delta E_{k.3}=0,9\text{J}$  

Odpowiedź: Zmiana energii kinetycznej dla każdego z klocków wynosi:

$\Delta E_{k.1}=0,3\text{J}$  

$\Delta E_{k.2}=0,6\text{J}$  

$\Delta E_{k.3}=0,9\text{J}$  

 

$c)$  

Wiemy, że:

$\Delta E_{p.1}=0,9\text{J}$  

$\Delta E_{p.2}=0\text{J}$  

$\Delta E_{p.3}=2,7\text{J}$  

$\Delta E_{k.1}=0,3\text{J}$  

$\Delta E_{k.2}=0,6\text{J}$  

$\Delta E_{k.3}=0,9\text{J}$  

Początkowa i końcowa wartość całkowitej energii mechanicznej klocka 1 wynosi:

$E_{c.1.0}=E_{p.1.0}+E_{k.1.0}$  

$E_{c.1.1}=E_{p.1.1}+E_{k.1.1}$  

Zatem zmiana energii całkowitej klocka 1 będzie miała postać:

$\Delta E_1=E_{c.1.1}-E_{c.1.0}$  

$\Delta E_1=E_{p.1.1}+E_{k.1.1}-\left(E_{p.1.0}+E_{k.1.0}\right)$  

$\Delta E_1=E_{p.1.1}+E_{k.1.1}-E_{p.1.0}-E_{k.1.0}$  

$\Delta E_1=E_{p.1.1}-E_{p.1.0}+E_{k.1.1}-E_{k.1.0}$  

$\Delta E_1=\Delta E_{p.1}+\Delta E_{k.1}$  

$\Delta E_1=0,9\text{J}+0,3\text{J}$  

$\Delta E_1=1,2\text{J}$  

Początkowa i końcowa wartość całkowitej energii mechanicznej klocka 2 wynosi:

$E_{c.2.0}=E_{p.2.0}+E_{k.2.0}$  

$E_{c.2.1}=E_{p.2.1}+E_{k.2.1}$  

Zatem zmiana energii całkowitej klocka 2 będzie miała postać:

$\Delta E_2=E_{c.2.1}-E_{c.2.0}$  

$\Delta E_2=E_{p.2.1}+E_{k.2.1}-\left(E_{p.2.0}+E_{k.2.0}\right)$  

$\Delta E_2=E_{p.2.1}+E_{k.2.1}-E_{p.2.0}-E_{k.2.0}$  

$\Delta E_2=E_{p.2.1}-E_{p.2.0}+E_{k.2.1}-E_{k.2.0}$  

$\Delta E_2=\Delta E_{p.2}+\Delta E_{k.2}$  

$\Delta E_2=0\text{J}+0,6\text{J}$  

$\Delta E_2=0,6\text{J}$  

Początkowa i końcowa wartość całkowitej energii mechanicznej klocka 3 wynosi:

$E_{c.3.0}=E_{p.3.0}+E_{k.3.0}$  

$E_{c.3.1}=E_{p.3.1}+E_{k.3.1}$  

Zatem zmiana energii całkowitej klocka 3 będzie miała postać:

$\Delta E_3=E_{c.3.1}-E_{c.3.0}$  

$\Delta E_3=E_{p.3.1}+E_{k.3.1}-\left(E_{p.3.0}+E_{k.3.0}\right)$  

$\Delta E_3=E_{p.3.1}+E_{k.3.1}-E_{p.3.0}-E_{k.3.0}$  

$\Delta E_3=-E_{p.3.0}+E_{p.3.1}+E_{k.3.1}-E_{k.3.0}$  

$\Delta E_3=-\left(E_{p.3.0}-E_{p.3.1}\right)+E_{k.3.1}-E_{k.3.0}$  

$\Delta E_3=-\Delta E_{p.3}+\Delta E_{k.3}$  

$\Delta E_3=-2,7\text{J}+0,9\text{J}$  

$\Delta E_3=-1,8\text{J}$  

Odpowiedź: Zmiana energii całkowitej dla każdego z klocków wynosi:

$\Delta E_1=1,2\text{J}$  

$\Delta E_2=0,6\text{J}$  

$\Delta E_3=-1,8\text{J}$