Naszym zadaniem jest zapisanie w najprostszej postaci równanie, które opisuje wartość natężenia pola $\vec{E}$ w punkcie S. Przyjmujemy, że mamy określone następujące wielkości:

• promień dużej kuli $R$,
• promień wydrążonej kuli $r=\frac{R}{2}$,
• gęstość objętościowa ładunku kul $\rho$.

Zgodnie z treścią zadania interesuje nas natężenie pola $\vec{E}$ w punkcie S, gdy obie kule zostały naelektryzowane ładunkiem o tej samej gęstości objętościowej $\rho$. Wówczas kula z wydrążonym kulistym otworem jest źródłem pola o natężeniu ${\vec{E}}_1$, a mała kula jest źródłem pola o natężeniu ${\vec{E}}_2$. Wynika z tego, że w punkcie S natężenie pola będzie złożeniem natężeń pól z obu kul. Wektorowo zapiszemy:

$\vec{E}={\vec{E}}_1\left(S\right)+{\vec{E}}_2\left(S\right)$

Zauważmy jednak, że kule są naładowane ładunkiem o tym samym znaku, zatem kierunki wektorów natężeń będą w punkcie S miały ten sam kierunek, ale przeciwny zwrot. Wówczas wartość wypadkowego natężenie pola w punkcie S będzie różnicą pomiędzy wartościami natężeń pól pochodzących od poszczególnych kul. Zapiszemy więc:

$E=E_1\left(S\right)-E_2\left(S\right)$

Teraz przejdziemy do określenia wzoru na wartość natężenia pola elektrycznego w punkcie S, którego źródłem jest każda z kul. W tym celu posłużymy się ogólnym wzorem na wartość natężenia pola elektrycznego.

WARTOŚĆ NATĘŻENIA POLA ELEKTRYCZNEGO Wartość natężenia centralnego pola elektrycznego w danym punkcie pola wyznaczamy, korzystając ze wzoru: $E=\frac{kQ}{r^2}$ gdzie: $E$ - wartość natężenia centralnego pola elektrycznego, $k$ - współczynnik proporcjonalności (stała elektryczna), $Q$ - wartość ładunku będącego źródłem pola, $r$ - odległość punktu, w którym badamy natężenie od ładunku źródłowego.

Wartość natężenia pola z większej kuli

Zgodnie z treścią zadania podane mamy, że wewnątrz kuli o promieniu $R$ został wydrążony kulisty otwór. Teraz załóżmy, że rozważamy pewien punkt w tym wydrążonym obszarze. W tym obszarze ładunek jest zerowy i nie żadnego materiału. Jednak otwór ten jest wewnątrz kuli, której gęstość objętościowej ładunku wynosi $\rho$. Wówczas, jeżeli chcemy, aby ładunek w tym obszarze był zerowy, to musimy interpretować, że ta wydrążona objętość ma gęstość objętościową ładunku $-\rho$. Wówczas wartość natężenia pola wytwarzanego przez dużą kulę z wydrążeniem jest równa różnicy pomiędzy wartością natężenia całej kuli o promieniu $R$ i gęstości objętościowej $\rho$ a małej kuli w niej wydrążonej o promieniu $r$ i gęstości objętościowej $-\rho$. Zapiszemy więc:

$E_1=E_{\text{d}}-E_{\text{m}}$

gdzie:

$E_1$ - wartość natężenia dużej kuli z wydrążeniem,

$E_{\text{d}}$ - wartość natężenia kuli bez wydrążenia,

$E_{\text{m}}$ - wartość natężenia wydrążonej małej kuli.

Teraz przejdźmy do wyznaczenia wzorów na poszczególne wartości natężeń pól. Interesuje nas punkt S, czyli na powierzchni dużej kuli, gdzie odległość między punktem S a środkiem dużej kuli wynosi $R$. Wówczas wzór na natężenie pola dużej kuli w punkcie S ma postać:

$E_{\text{d}}=\frac{k{Q}_{\text{d}}}{R^2}$

gdzie:

$E_{\text{d}}$ - wartość natężenia wytwarzanego przez dużą kulę,

$Q_{\text{d}}$ - wartość ładunku zgromadzony na dużej kuli,

$R$ - promień dużej kuli.

Teraz interesuje nas wydrążona kula. Odległość punktu S od wydrążenia jest równe $r$, zatem wzór na natężenie pola małej (wydrążonej) kuli w punkcie S ma postać:

$E_{\text{m}}=\frac{k{Q}_{\text{m}}}{r^2}$

gdzie:

$E_{\text{m}}$ - wartość natężenia wytwarzanego przez małą kulę,

$Q_{\text{m}}$ - wartość ładunku zgromadzony na małej wydrążonej kuli,

$r$ - promień małej wydrążonej kuli.

Zgodnie z naszymi rozważaniami gęstości objętościowe ładunku na każdej z tych kul mają tę samą wartość, ale przeciwne znaki. Jednak ten minus uwzględniliśmy już we wzorze na wartość natężenia $E_1$, zatem teraz skupiamy się jedynie na wartościach ładunku. Oznacza to, że pomijamy już znaki ładunków na każdej z kul.

GĘSTOŚĆ Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że: $\rho =\frac{m}{V}$ gdzie: $\rho$ - gęstość ciała,  $m$ - masa ciała,  $V$ - objętość ciała.

Powyższy wzór opisuje gęstość objętościową materii danego ciała, natomiast nas interesuje objętościowa gęstość ładunku, czyli stosunek całkowitego ładunku do całkowitej objętości:

$\rho =\frac{Q}{V}$

gdzie:

$\rho$ - gęstość objętościowa ładunku,

$Q$ - całkowita wartość ładunku,

$V$ - objętość w jakiej zgromadzony jest ładunek.

Przekształcamy powyższy wzór:

$\frac{Q}{V}=\rho |\cdot V$

$Q=\rho V$

KULA - OBJĘTOŚĆ Objętość kuli obliczamy, korzystając ze wzoru: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ gdzie: $V$ - objętość kuli, $\pi$ - liczba pi, $r$ - promień kuli.

Zapiszemy więc, że wzór na wartość ładunku, który został nagromadzony na dużej kuli o promieniu $R$, przyjmuję postać:

$Q_{\text{d}}=\rho \frac{4}{3}\pi R^3$

$Q_{\text{d}}=\frac{4}{3}\pi \rho R^3$

Natomiast wzór na wartość ładunku, który został nagromadzony na małej wydrążonej kuli o promieniu $r$, przyjmuję postać:

$Q_{\text{m}}=\rho \frac{4}{3}\pi r^3$

$Q_{\text{m}}=\frac{4}{3}\pi \rho {\left(\frac{R}{2}\right)}^3$

$Q_{\text{m}}=\frac{{\cancel{4}}^1}{3}\pi \rho \frac{R^3}{{\cancel{8}}^2}$

$Q_{\text{m}}=\frac{1}{6}\pi \rho R^3$

Wracamy do wzoru na wartość natężenia pola pochodzący od wydrążonej kuli w punkcie S:

$E_1=E_{\text{d}}-E_{\text{m}}$

$E_1=\frac{k{Q}_{\text{d}}}{R^2}-\frac{k{Q}_{\text{m}}}{r^2}$

$E_1=k\left(\frac{\frac{4}{3}\pi \rho R^{{\cancel{3}}^1}}{\cancel{R^2}}-\frac{\frac{1}{6}\pi \rho R^3}{{\left(\frac{R}{2}\right)}^2}\right)$

$E_1=\pi k\left(\frac{4}{3}\rho R-\frac{\frac{1}{6}\rho R^3}{\frac{R^2}{4}}\right)$

$E_1=\pi k\left(\frac{4}{3}\rho R-\frac{1}{6}\rho R^{{\cancel{3}}^1}\cdot \frac{4}{\cancel{R^2}}\right)$

$E_1=\pi k\left(\frac{4}{3}\rho R-\frac{4}{6}\rho R\right)$

$E_1=\left(\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\right)\pi k\rho R$

$E_1=\frac{2}{3}\pi k\rho R$

Wartość natężenia z małej kuli

W poprzednim kroku wyznaczyliśmy wartość natężenia pola elektrycznego dla kuli o promieniu $R$ i o gęstości objętościowej ładunku $\rho$. Teraz interesuje nas kula o promieniu $r$, której gęstość objętościowego ładunku również wynosi $\rho$. Wówczas, zgodnie z poprzednimi rozważaniami, ładunek zgromadzony na tej kuli opisuje wzór:

$q=\rho \frac{4}{3}\pi r^3$

$q=\frac{4}{3}\pi \rho {\left(\frac{R}{2}\right)}^3$

$q=\frac{{\cancel{4}}^1}{3}\pi \rho \frac{R^3}{{\cancel{8}}^2}$

$q=\frac{1}{6}\pi \rho R^3$

Z rysunku podanego w treści zadania odczytujemy, że odległość środka małej kuli od punktu S wynosi:

$x=2R-r$

$x=2R-\frac{R}{2}$

$x=\left(2-\frac{1}{2}\right)R$

$x=\left(\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\right)R$

$x=\frac{3}{2}R$

Wówczas wzór na wartość natężenia pola w punkcie S pochodzącego z małej kuli przyjmuję postać:

$E_2=\frac{kq}{x^2}$

$E_2=\frac{k\frac{1}{6}\pi \rho R^3}{{\left(\frac{3}{2}R\right)}^2}$

$E_2=k\pi \rho \frac{\frac{1}{6}{R}^{{\cancel{3}}^1}}{\frac{9}{4}\cancel{R^2}}$
$E_2=k\pi \rho \frac{1}{{\cancel{6}}^3}\cdot \frac{{\cancel{4}}^2}{9}R$

$E_2=\frac{2}{27}\pi k\rho R$

Wartość natężenia wypadkowego pola w punkcie S

Wracamy do równania na natężenie wypadkowego pola w punkcie S:

$E=E_1-E_2$

Podstawiamy wyznaczone wzory:

$E=\frac{2}{3}\pi kR\rho -\frac{2}{27}\pi kR\rho$

$E=\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{27}\right)\pi kR\rho$

$E=\left(\frac{18}{27}-\frac{2}{27}\right)\pi kR\rho$

$E=\frac{16}{27}\pi kR\rho$