Zadaniem naszym jest wykazanie, że średnią gęstość Ziemi opisuje wzór:

${\rho }_{\text{sˊr}}=\frac{3g}{4\pi G{R}_{\text{Z}}}$

gdzie:

${\rho }_{\text{sˊr}}$  - średnia gęstość Ziemi,

$g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego Ziemi,

$G$ - stała grawitacyjna,

$R_{\text{Z}}$ - promień Ziemi.

Korzystając z definicji gęstości, wiemy, że:

$\rho =\frac{m}{V}$

gdzie:

$\rho$ - gęstość ciała, 

$m$ - masa ciała, 

$V$ - objętość ciała. 

Zapiszemy więc, że wzór na średnią gęstość Ziemi wyrazimy w postaci:

${\rho }_{\text{sˊr}}=\frac{M_{\text{Z}}}{V_{\text{Z}}}$

gdzie:

$M_{\text{Z}}$ - masa Ziemi,

$V_{\text{Z}}$ - objętość Ziemi.

Przyjmujemy, że Ziemia ma kształt kuli o promieniu $R_{\text{Z}}$. Objętość kuli opisuje wzór:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

gdzie:

$V$ - objętość kuli,

$\pi$ - liczba pi,

$r$ - promień kuli.

Wówczas, dla Ziemi wzór ten przyjmie postać:

$V_{\text{Z}}=\frac{4}{3}\pi R_{\text{Z}}^3$

Wówczas:

${\rho }_{\text{sˊr}}=\frac{M_{\text{Z}}}{\frac{4}{3}\pi R_{\text{Z}}^3}$

${\rho }_{\text{sˊr}}=\frac{3M_{\text{Z}}}{4\pi R_{\text{Z}}^3}$

Potrzebujemy teraz znaleźć zależność masy Ziemi od wartości przyspieszenia grawitacyjnego. Wiemy, że przyspieszenie grawitacyjne to przyspieszenie, z jakim porusza się ciało, na które działa wyłącznie siła grawitacji. Przedstawiamy je za pomocą wzoru:

$a_g=\frac{GM}{r^2}$

gdzie:

$a_g$ - wartość przyspieszenia grawitacyjnego,

$G$ -  stała grawitacji,

$M$ - masa ciała wytwarzającego grawitację,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy przyspieszenie grawitacyjne, od środka masy.

Wówczas, wzór na wartość przyspieszenia grawitacyjnego Ziemi przyjmuję postać:

$g=\frac{G{M}_{\text{Z}}}{R_{\text{Z}}^2}$

Z powyższego wzoru możemy wyznaczyć zależność na masę Ziemi.

$g=\frac{G{M}_{\text{Z}}}{R_{\text{Z}}^2}|\cdot R_{\text{Z}}^2$

$g{R}_{\text{Z}}^2=G{M}_{\text{Z}}|:G$

$\frac{g{R}_{\text{Z}}^2}{G}=M_{\text{Z}}$

$M_{\text{Z}}=\frac{g{R}_{\text{Z}}^2}{G}$

Wracamy do wzoru na średnią gęstość Ziemi i podstawiamy powyższą zależność:

${\rho }_{\text{sˊr}}=\frac{3M_{\text{Z}}}{4\pi R_{\text{Z}}^3}$

${\rho }_{\text{sˊr}}=\frac{3\frac{g{R}_{{\text{Z}}^2}}{G}}{4\pi R_{\text{Z}}^3}$

${\rho }_{\text{sˊr}}=\frac{3g\cancel{R_{\text{Z}}^2}}{4\pi R_{\text{Z}}^{{\cancel{3}}^1}}$

${\rho }_{\text{sˊr}}=\frac{3g}{4\pi R_{\text{Z}}}$