Dane:

Promień pętli:  $R=30\text{cm}=0,3\text{m}$  

Prędkość samochodziku:  $v=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Wysokość środka ciężkości samochodziku nad powierzchnią toru:  $H=1\text{cm}=0,01\text{m}$  

Szukane:

Zależność wysokości środka ciężkości samochodziku nad powierzchnią toru od czasu:  $h\left(t\right)=?$  

Rozwiązanie:

Niech $r$  będzie odległością środka ciężkości samochodziku od środka pętli:

$r=R-H$  

Samochodzik porusza się z pewną szybkością liniową, zatem jego szybkość kątowa będzie miała postać:

$\omega =\frac{v}{r}$  

Zatem okres obrotu przedstawimy wzorem:

$T=\frac{2\pi }{\omega }$  

$T=\frac{2\pi }{\frac{v}{r}}$  

$T=\frac{2\pi r}{v}$  

$T=\frac{2\pi \left(R-H\right)}{v}$  

Obliczmy ile wynosił jeden okres ruchu samochodziku:

$T=\frac{2\cdot 3,14\cdot \left(0,3\text{m}-0,01\text{m}\right)}{2\frac{\text{m}}{\text{s}}}=\frac{6,28\cdot 0,29\text{m}}{2\frac{\text{m}}{\text{s}}}=\frac{1,8212\text{m}}{2\frac{\text{m}}{\text{s}}}=0,9106\text{s}$  

Kąt, jaki w czasie będzie zakreślał samochodzik będzie miał postać:

$\alpha =\omega t$  

$\alpha =\frac{2\pi }{T}t$  

Zauważmy, że:

Korzystając z rysunku możemy zauważyć, że:

$h\left(t\right)=H+x$  

Ponieważ $x+y=r$  to:

$x+y=r\mid -y$  

$x=r-y$  

Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$\cos \alpha =\frac{y}{r}\text{, czyli }y=r\cos \alpha$  

Zatem:

$h\left(t\right)=H+x$  

$h\left(t\right)=H+r-y$  

$h\left(t\right)=H+r-r\cos \alpha$  

$h\left(t\right)=H+r\left(1-\cos \alpha \right)$  

$h\left(t\right)=H+\left(R-H\right)\left(1-\cos \left(\frac{2\pi }{T}t\right)\right)$  

Wiemy, że maksymalna wysokość na jakiej może znajdować się środek ciężkości samochodziku wynosi:

$h_{\max }\left(t\right)=2R-H\text{, czyli }{h}_{\max }\left(t\right)=2\cdot 0,3\text{m}-0,01\text{m}=0,6\text{m}-0,01\text{m}=0,59\text{m}$  

Zatem wykres zależności będzie miał postać: