Dane:

$M=85\text{kg}$  

$m=45\text{kg}$  

$v=3\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

$h=2\text{m}$  

$x_1=0,9\text{m}$  

$x_2=0,8\text{m}$  

Przyjmujemy, że:

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$  

Szukane:

Procent, o jaki wzrosła energia całkowita pary:  $k=?$  

Rozwiązanie:

Układ rozpatrujemy względem tafli lodu. Zarówno łyżwiarz i łyżwiarka poruszają się z tą samą szybkości $v$ . Wówczas każde z nich posiada pewną energie kinetyczną:

$E_{k.\text{łyz˙wiarz}}=\frac{M{v}^2}{2}\text{ oraz }{E}_{k.\text{łyz˙wiarka}}=\frac{m{v}^2}{2}$  

Początkowo środek ciężkości łyżwiarza znajduje się na pewnej wysokości $x_1$ . Możemy zatem zapisać, że energia potencjalna łyżwiarza ma postać:

$E_{p.\text{łyz˙wiarz}}=Mg{x}_1$  

Środek masy łyżwiarki znajduje się na wysokości  $x_2$ , czyli ma wówczas energię potencjalną:

$E_{p.\text{łyz˙wiarki}}=mg{x}_2$  

Oznacza to, że początkowa całkowita energia mechaniczna pary łyżwiarzy będzie wynosiła:

$E_{c1}=E_{k.\text{łyz˙wiarz}}+E_{k.\text{łyz˙wiarka}}+E_{p.\text{łyz˙wiarz}}+E_{p.\text{łyz˙wiarki}}$  

$E_{c1}=\frac{M{v}^2}{2}+\frac{m{v}^2}{2}+Mg{x}_1+mg{x}_2$  

Następnie łyżwiarz podnosi łyżwiarkę do góry, w taki sposób, że jej środek masy znajduje się na wysokości $h$ . Zmienia się wówczas energia potencjalna tylko tej łyżwiarki:

$E_{p2.\text{łyz˙wiarki}}=mgh$  

Zatem całkowita energia mechaniczna układu ma wówczas postać:

$E_{c2}=E_{k.\text{łyz˙wiarz}}+E_{k.\text{łyz˙wiarka}}+E_{p.\text{łyz˙wiarz}}+E_{p2.\text{łyz˙wiarki}}$  

$E_{c2}=\frac{M{v}^2}{2}+\frac{m{v}^2}{2}+Mg{x}_1+mgh$  

W zdaniu pytamy, o jaki procent wzrośnie energia mechaniczna tego układu, czyli:

$E_{c2}=E_{c1}+k\cdot E_{c1}\mid -E_{c1}$  

$E_{c2}-E_{c1}=k\cdot E_{c1}\mid :E_{c1}$  

$k=\frac{E_{c2}-E_{c1}}{E_{c1}}$  

$k=\frac{\frac{M{v}^2}{2}+\frac{m{v}^2}{2}+Mg{x}_1+mgh-\left(\frac{M{v}^2}{2}+\frac{m{v}^2}{2}+Mg{x}_1+mg{x}_2\right)}{\frac{M{v}^2}{2}+\frac{m{v}^2}{2}+Mg{x}_1+mg{x}_2}$  

$k=\frac{\frac{M{v}^2}{2}+\frac{m{v}^2}{2}+Mg{x}_1+mgh-\frac{M{v}^2}{2}-\frac{m{v}^2}{2}-Mg{x}_1-mg{x}_2}{\frac{\left(M+m\right)v^2}{2}+g\left(M{x}_1+m{x}_2\right)}$  

$k=\frac{mgh-mg{x}_2}{\frac{1}{2}\left(\left(M+m\right)v^2+2g\left(M{x}_1+m{x}_2\right)\right)}$  

$k=\frac{2mg\left(h-x_2\right)}{\left(M+m\right)v^2+2g\left(M{x}_1+m{x}_2\right)}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$k=\frac{2\cdot 45\text{kg}\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(2\text{m}-0,8\text{m}\right)}{\left(85\text{kg}+45\text{kg}\right)\cdot {\left(3\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2+2\cdot 10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(85\text{kg}\cdot 0,9\text{m}+45\text{kg}\cdot 0,8\text{m}\right)}=$  

$=\frac{900\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 1,2\text{m}}{130\text{kg}\cdot 9\frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}+20\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot \left(76,5\text{kg}\cdot \text{m}+36\text{kg}\cdot \text{m}\right)}=$  

$=\frac{1080\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{1170\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}+20\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}\cdot 112,5\text{kg}\cdot \text{m}}=$  

$=\frac{1080\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}{1170\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}+2250\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}}=$  

$=\frac{1080\text{J}}{3420\text{J}}\approx 0,315789\approx 0,32=32\%$  

Odpowiedź: Całkowita energia mechaniczna układ pary łyżwiarzy wzrosła o około 32%. Podane informacje nie pozwalają obliczyć dokładnej wartości przyrostu energii ponieważ nie wiemy nic o zmianie wysokości środka masy łyżwiarza w czasie podnoszenia łyżwiarki.