a)

Długość początkowa sprężyny jest równa:

$l_0=12\text{cm}=0,12\text{m}$

Siła rozciągająca sprężynę była równa sile ciężkości zawieszonego na niej ciężarka:

$F=mg$

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

Siłę sprężystości równoważącą siłę ciężkości zawieszonego ciężarka możemy zapisać jako:

$F_s=F$

$k\Delta l=F$

Stąd współczynnik sprężystości wyznaczymy jako:

$k=\frac{F}{\Delta l}$      

Uzupełniamy tabelę:

$m\text{[g]}$	$F\text{[N]}$	$l\text{[cm]}$	$\Delta l=l_1-l_0\left[m\right]$	$k\text{[N/m]}$
$50$	$0,05\cdot 10=0,5$	$14,8$	$0,148-0,12=0,028$	$\frac{0,5}{0,028}=17,9$
$100$	$0,1\cdot 10=1$	$18,1$	$0,181-0,12=0,061$	$\frac{1}{0,061}=16,4$
$150$	$0,15\cdot 10=1,5$	$21,3$	$0,213-0,12=0,093$	$\frac{1,5}{0,093}=16,1$
$200$	$0,2\cdot 10=2$	$23,7$	$0,237-0,12=0,117$	$\frac{2}{0,117}=17,1$
$250$	$0,25\cdot 10=2,5$	$27,2$	$0,272-0,12=0,152$	$\frac{2,5}{0,152}=16,4$

 

Wyznaczmy wartość średnią współczynnika sprężystości:

$k=\frac{17,9+16,4+16,1+17,1+16,4}{5}=16,8\frac{\text{N}}{\text{m}}$  

 

b)

$x$	$y$
$\Delta l\text{[m]}$	$F\text{[N]}$
$0,028$	$0,5$
$0,061$	$1$
$0,093$	$1,5$
$0,117$	$2$
$0,152$	$2,5$

 

Powyższe dane nanosimy na wykres zależności działającej siły na sprężynę od jej wydłużenia oraz zaznaczmy niepewności pomiaru wydłużenia sprężyny.

$\Delta \left(\Delta l\right)=0,1\text{cm}=0,001\text{m}$  

 

Prosta przechodząca przez punkty pomiarowe ma postać:

$y=ax$

$y=F$

$x=\Delta l$    

Stąd:

$F=a\Delta l$

Fizyczna zależność siły rozciągającej sprężynę od jej wydłużenia jest dana jako:

$F=kx$

Zatem współczynnik kierunkowy wyznaczonej prostej jest równy współczynnikowi sprężystości:

$k=a$  

Współczynnik kierunkowy prostej możemy wyznaczyć jako:

$a=\mathrm{tg}\alpha$  

Wyznaczmy wartość tangensa kąta nachylenia prostej:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{1,5\text{N}}{0,09\text{m}}=16,7\frac{\text{N}}{\text{m}}$   

Współczynnik sprężystości wynosi:

$k=16,7\frac{\text{N}}{\text{m}}$  

 

c)

Szukamy punktów najbardziej odległych od prostej, którą wyznaczyliśmy w poprzednim zadaniu.

Wartość maksymalna współczynnika sprężystości wynika z pierwszego punktu (0,028 ; 0,5) i jest równa:

$k_{\text{max}}=17,9\frac{\text{N}}{\text{m}}$

Wartość minimalna współczynnika sprężystości wynika z trzeciego punktu (0,093 ; 1,5) i jest równa:

$k_{\text{min}}=16,1\frac{\text{N}}{\text{m}}$

Błąd wyznaczenia współczynnika sprężystości wyznaczymy jako:

$\Delta k=\frac{k_{\text{max}}-k_{\text{min}}}{2}$

$\Delta k=\frac{17,9\frac{\text{N}}{\text{m}}-16,1\frac{\text{N}}{\text{m}}}{2}=\frac{1,8\frac{\text{N}}{\text{m}}}{2}=0,9\frac{\text{N}}{\text{m}}$