Dane:

$h=20cm=0,2m$  

$a=0,4\frac{m}{s}$  

$\mu =0,95$  

Szukane:

$d=?$  

Rozwiązanie:

Na początku należy zastanowić się nad siłami działającymi na puszkę z farbą. Wykonujemy rysunek, na którym zaznaczamy te siły:

gdzie F_b jest siłą bezwładności, F_g jest siłą ciężkości, T jest siłą tarcia, O jest osią obrotu puszki z farbą, r jest odległością przyłożenia siły bezwładności i ciężkości od osi obrotu, R jest odległością przyłożenia siły tarcia od osi obrotu oraz promieniem walca, h jest wysokością walca, d jest średnicą walca. Wiemy, że promień jest połową długości średnicy, dlatego możemy zapiasać, że:

$R=\frac{1}{2}d$  

Korzystając z rysunku i założeń trygonometrycznych otrzymujemy, że:

$\sin \alpha =\frac{\frac{1}{2}h}{r}\text{ oraz }\sin \beta =\frac{R}{r}$  

Siłę ciężkości przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_g=mg$  

gdzie F_g jest siłą ciężkości, m jest masą ciała, g jest przyspieszeniem ziemskim. Siłę tarcia obliczamy korzystając ze wzoru:

$T=\mu F_N$  

gdzie T jest siłę tarcia, µ jest współczynnikiem tarcia, F_N jest siłą nacisku ciała na podłoże. Zauważmy, że w naszym przypadku siła nacisku na podłoże równa jest sile ciężkości walca. Wówczas otrzymujemy, że:

$T=\mu F_g$  

$T=\mu mg$  

Jeżeli układ porusza się ruchem zmiennym to na ciała znajdujące się w tym układzie działa siła bezwładności, która wyraża się wzorem:

$F_b=ma$  

gdzie m jest masą ciała, a jest przyspieszeniem, z jakim porusza się układ. Wiemy że zwrot siły bezwładności jest przeciwny do zwrotu wektora przyspieszenia tego układu.

Wektor momentu siły obracającej się bryły sztywnej możemy przedstawiamy wzorem:

$\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$  

gdzie M jest wektorem momentu siły bryły sztywnej, F jest wektorem siły działającej na bryłę sztywną w odległości r od jej osi obrotu. Wówczas moment siły tarcia będzie miał postać:

$\overrightarrow{M_T}=\overrightarrow{R}\times \overrightarrow{T}$  

$M_T=R\cdot T\cdot \sin 0^{\circ }$  

$M_T=\frac{1}{2}d\cdot T\cdot 0$  

$M_T=0$  

Moment siły ciężkości:

$\overrightarrow{M_g}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F_g}$  

$M_g=r\cdot F_g\cdot \sin \beta$  

$M_g=\sout{r}\cdot mg\cdot \frac{R}{\sout{r}}$  

$M_g=mgR$  

$M_g=mg\cdot \frac{1}{2}d$  

$M_g=\frac{1}{2}mgd$  

Moment siły bezwładności będzie miał postać:

$\overrightarrow{M_b}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F_b}$  

$M_b=r\cdot F_b\cdot \sin \alpha$  

$M_b=\sout{r}\cdot ma\cdot \frac{\frac{1}{2}h}{\sout{r}}$  

$M_b=\frac{1}{2}mah$  

W zadaniu pytamy o minimalną średnicę puszki, aby ta nie przewracała się. Oznacza to, że moment siły działający na puszę musi być równy zero, co wynika z I zasady dynamiki ruchu obrotowego. Pamiętając, że zwrot momentu siły jest dodatni, jeżeli siła jest jest zwrócona zgodnie z ruchem wskazówek zegara względem osi obrotu oraz ujemny jeżeli siła jest zwrócona przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Z tego wynika, że:

$M_g-M_b=0$   

$\frac{1}{2}mgd-\frac{1}{2}mah=0\mid +\frac{1}{2}mah$  

$\frac{1}{2}mgd=\frac{1}{2}mah\mid \cdot 2$  

$mgd=mah\mid :mg$  

$d=\frac{ah}{g}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d=\frac{0,4\frac{\sout{m}}{\sout{s^2}}\cdot 0,2m}{9,81\frac{\sout{m}}{\sout{s^2}}}=\frac{0,08m}{9,81}\approx 0,00815494m\approx 8mm$  

Odp.: Puszka powinna mieć średnicę równą przynajmniej około $8mm$ , żeby nie przewróciła się.