Środek masy to punkt wzdłuż którego przecinają się proste, wzdłuż których działają siły wywołujące ruch postępowy bryły.

 

$\mathbf{a}.$  

Trójkąt równoboczny o boku długości  $a=10cm.$  

W trójkącie równobocznym środek masy leży w punkcie przecięcia się jego środkowych, w tym przypadku również jest to punkt przecięcia się wysokości trójkąta równobocznego. Wykonajmy rysunek:

Wysokość trójkąta równobocznego obliczamy z zależności:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Wiemy, że wysokości trójkąta równobocznego dzielą się w stosunku  $1:2.$  

Wówczas odległość środka masy od środka każdego z tych boków wynosi:

$d=\frac{1}{3}h$  

$d=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$d=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$d=\frac{10cm\cdot \sqrt{3}}{6}\approx \frac{10cm\cdot 1,73}{6}=\frac{17,3cm}{6}\approx 2,9cm$  

Odp.: Odległość środka masy od środka każdego z boków wynosi około  $2,9cm.$  

 

$\mathbf{b}.$  

Prostopadłościenny jednorodny klocek o wymiarach  $a=8cm,b=10cm,c=12cm$  

Środek masy dla prostopadłościany znajduje się w punkcie przecięcia się przekątnych tego prostopadłościanu. Obierzmy punkt odniesienia w środku układu współrzędnych i wyznaczmy środek masy tego prostopadłościanu. Wykonajmy rysunek :

Współrzędna x-owa środka masy:

$S_x=\frac{1}{2}a$  

$S_x=\frac{1}{2}\cdot 8cm$  

$S_x=4cm$  

Współrzędna y-owa środka masy:

$S_y=\frac{1}{2}b$  

$S_y=\frac{1}{2}\cdot 10cm$  

$S_y=5cm$  

Współrzędna z-owa środka masy:

$S_z=\frac{1}{2}c$  

$S_z=\frac{1}{2}\cdot 12cm$  

$S_z=6cm$  

Współrzędne środka masy będą miały postać:

$\mathbf{S}=\left(S_x,S_y,S_z\right)$  

$\mathbf{S}=\left(4cm,5cm,6cm\right)$  

Odp.: Współrzędne środka masy prostopadłościennego jednorodnego klocka mają postać:  $\left(4cm,5cm,6cm\right).$  

 

$\mathbf{c}.$  

Dwa kwadratowe cienkie arkusze blachy o wymiarach  $a_1=20cm$ i  $a_2=15cm$ odległych od siebie o  $l=50cm$  

Zacznijmy od wyznaczenia stosunku masy tych arkuszy blachy. Zakładamy, że są wykonane z blachy o tej samej gęstości $\rho$  oraz  grubość obu tych arkuszy wynosi  $d$ . Korzystając z definicji gęstości otrzymujemy, że masy poszczególnych kawałków blachy wynoszą:

$m_1=\rho V_1\text{ oraz }{m}_2=\rho V_2$  

gdzie $V_1$  i $V_2$  są objętościami tych kawałków blachy. Wówczas:

$m_1=\rho d{a}_1^2\text{ oraz }{m}_2=\rho d{a}_2^2$  

Oznacza to, że stosunek masy tych kawałków blachy wynosi:

$\frac{m_1}{m_2}=\frac{\rho d{a}_1^2}{\rho d{a}_2^2}$  

$\frac{m_1}{m_2}=\frac{a_1^2}{a_2^2}$  

$\frac{m_1}{m_2}={\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^2\mid \cdot m_2$  

$m_1={\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^2{m}_2$  

Zastąpmy kawałki blachy masami punktowymi i zaznaczmy je na osi obierając układ odniesienia względem pierwszej masy:

Środek masy wyznaczymy z zależności:

$x=\frac{m_1\cdot 0+m_2\cdot l}{m_1+m_2}$  

$x=\frac{m_{2}l}{m_1+m_2}$  

$x=\frac{m_{2}l}{{\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^2{m}_2+m_2}$  

$x=\frac{m_2}{\left({\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^2+1\right)\cdot m_2}\cdot l$  

$x=\frac{1}{{\left(\frac{a_1}{a_2}\right)}^2+1}\cdot l$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{1}{{\left(\frac{20cm}{15cm}\right)}^2+1}\cdot 50cm=\frac{1}{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+1}\cdot 50cm=\frac{1}{\frac{16}{9}+1}\cdot 50cm=$  

$=\frac{1}{\frac{16}{9}+\frac{9}{9}}\cdot 50cm=\frac{1}{\frac{25}{9}}\cdot 50cm=\frac{9}{{}_1\sout{25}}\cdot {\sout{50}}^{2}cm=18cm$  

Odp.: Środek masy dla tego układu znajduje się w odległości $18cm$  od pierwszej masy na odcinku łączącym środki tych mas.

 

$\mathbf{d}.$  

Teownik o wymiarach podanych na rysunku

Zaczynamy od wykonania rysunku, na którym obieramy układ współrzędnych oraz zaznaczymy środki mas prostopadłych od siebie części teownika:

Punkt będący środkiem masy całego układu będzie znajdował się na odcinku AB. Zaznaczmy go na rysunku oraz wymiary poszczególnych części teownika:

Z rysunku zauważmy, że:

$A_x=0,75;A_y=0;A_z=0,5$  

$B_x=0,75;B_y=0;B_z=1$  

Przyjmując, że teownik jest wykonany z cienkiego materiału analogicznie jak w poprzednim podpunkcie wyznaczamy stosunek mas:

$m_A=\rho \cdot 1,5\cdot 1\cdot d\text{ oraz }{m}_B=\rho \cdot \left(0,7+0,7\right)\cdot 1,5\cdot d$  

$m_A=1,5\cdot \rho \cdot d\text{ oraz }{m}_B=2,1\cdot \rho \cdot d$  

Wówczas:

$\frac{m_A}{m_B}=\frac{1,5\cdot \rho \cdot d}{2,1\cdot \rho \cdot d}$  

$\frac{m_A}{m_B}=\frac{5}{7}\mid \cdot m_B$  

$m_A=\frac{5}{7}{m}_B$  

Z tego wynika, że:

$m_A+m_B=m$  

$\frac{5}{7}{m}_B+m_B=m$  

$\frac{12}{7}{m}_B=m\mid \cdot \frac{7}{12}$  

$m_B=\frac{7}{12}m$  

Oznacza to, że:

$m_A=m-m_B$  

$m_A=m-\frac{7}{12}m$  

$m_A=\frac{5}{12}m$  

Korzystając z rysunku zauważmy, że współrzędna x-owa środka masy ma postać:

$S_x=\frac{1}{2}\cdot 1,5m$  

$S_x=0,75m$  

Natomiast współrzędną z-ową środka masy ma postać:

$S_z=\frac{m_A\cdot A_z+m_B\cdot B_z}{m}$  

$S_z=\frac{\frac{5}{12}m\cdot 0,5+\frac{7}{12}m\cdot 1}{m}$  

$S_z=\frac{5}{12}\cdot \frac{1}{2}+\frac{7}{12}$  

$S_z=\frac{5}{24}+\frac{14}{24}$  

$S_z=\frac{19}{24}$  

$S_z\approx 0,792$  

Odp.: Współrzędne środka masy teownika mają postać:  $\left(0,75;0,0,792\right).$