$a)$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że:

$H=2h$  

$z=2h$  

Zasięg rzutu poziomego obliczamy korzystając z wzoru:

$z=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$  

gdzie z jest zasięgiem rzutu, v₀ jest prędkością początkową ciała, h jest wysokością z jakiej rzucono ciało, g jest przyspieszeniem ziemskim. Wyznaczmy dla naszego przypadku prędkość początkową strzały:

$z=v_0\sqrt{\frac{2H}{g}}$  

$2h=v_0\sqrt{\frac{2\cdot 2h}{g}}$  

$2h=v_0\frac{\sqrt{4h}}{\sqrt{g}}\mid \cdot \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{4h}}$  

$2h\cdot \frac{\sqrt{g}}{\sqrt{4h}}=v_0$  

$v_0=\sout{2}h\frac{\sqrt{g}}{\sout{2}\sqrt{h}}$  

$v_0=\sqrt{h^{\sout{2}}\frac{g}{\sout{h}}}$  

$v_0=\sqrt{hg}$  

 

$b)$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

W rzucie poziomym składową prędkości pionową przedstawiamy zależnością:

$v_y=g\cdot t$  

gdzie v_y jest wartością składowej prędkości pionowej, g jest przyspieszeniem ziemskim, t jest czasem ruchu cała w rzucie poziomy. Wysokość spadania ciała w rzucie poziomym przedstawiamy zależnością:

$h=\frac{g{t}^2}{2}$  

gdzie h jest wysokością, z jakiej spada ciało, g jest przyspieszeniem ziemskim, t jest czasem spadku ciała. Z tego wynika, że czas ruchu strzały będzie wynosił:

$H=\frac{g{t}^2}{2}\mid \cdot 2$

$2H=g{t}^2$  

$2\cdot 2h=g{t}^2\mid :g$  

  $\frac{4h}{g}=t^2\mid \sqrt{}$  

$t=\sqrt{\frac{4h}{g}}$  

$t=2\sqrt{\frac{h}{g}}$  

Wówczas składowa pionowa prędkości strzały wynosi:

$v_y=gt$  

$v_y=g\cdot 2\sqrt{\frac{h}{g}}$  

$v_y=2\sqrt{g^{\sout{2}}\cdot \frac{h}{\sout{g}}}$

$v_y=2\sqrt{hg}$

Korzystając z funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{v_y}{v_0}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2\sqrt{hg}}{\sqrt{hg}}$

$\mathrm{tg}\alpha =2$   

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\mathrm{tg}{64}^{\circ }\approx 2$  

Czyli:

$\alpha \approx {64}^{\circ }$  

 

$c)$  

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Tor ruchu pionowego ciała w rzucie poziomym przedstawiamy wzorem:

$y\left(x\right)=H-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$  

gdzie y(x) jest pionową wysokością na jakiej znajduje się ciało, x jest odległością poziomą miejsca, w którym badamy tor ruchu od miejsca rzutu ciała, g jest przyspieszeniem ziemskim, v₀ jest prędkością początkową rzucanego ciała, H jest wysokością z jakiej wyrzucono to ciało. W naszym przypadku wiemy, że:

$H=2h$  

$y\left(x\right)=h$  

  $x=4h$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$y\left(x\right)=H-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}$  

$h=2h-\frac{g{\left(4h\right)}^2}{2v_0^2}\mid -2h$

$-h=-\frac{g{\sout{16}}^8{h}^2}{{\sout{2}}^1{v}_0^2}\mid \cdot \left(-1\right)$

$h=\frac{8g{h}^2}{v_0^2}\mid \cdot v_0^2$

$h{v}_0^2=8g{h}^2\mid :h$  

$v_0^2=8gh\mid \sqrt{}$  

$v_0=\sqrt{8gh}$

$v_0=\sqrt{4\cdot 2gh}$  

$v_0=2\sqrt{2gh}$  

 

$d)$  

W przypadku rzutu poziomego droga w kierunku poziomym przebyta przez ciało pokonana jest ruchem jednostajnym i wyraża się zależnością:

$x=v_0\cdot t$  

gdzie v₀ jest prędkością początkową, t jest czasem ruchu. Wiemy, że:

$x=4h$  

$v_0=2\sqrt{2gh}$

Wówczas czas lotu strzały wynosi:

$x=v_{0}t\mid :v_0$  

$\frac{x}{v_0}=t$  

$t=\frac{{\sout{4}}^{2}h}{{\sout{2}}^1\sqrt{2gh}}$  

$t=\frac{2h}{\sqrt{2gh}}$  

$t=\sqrt{\frac{{\sout{4}}^2{h}^{\sout{2}}}{{\sout{2}}^{1}g\sout{h}}}$  

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$  

 

$e)$  

Jeżeli strzała uderzy w ścianę, to tor jej ruchu y musi być większy od zera i mniejszy od wysokości tej ściany, czyli:

$0<y<H$  

Wówczas otrzymujemy, że: 

$0<H-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}<H\mid -H$  

$-H<-\frac{g{x}^2}{2v_0^2}<0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$H>\frac{g{x}^2}{2v_0^2}>0\mid \cdot v_0^2$  

$H{v}_0^2>\frac{g{x}^2}{2}>0$  

Zauważmy, że zawsze spełniona jest nierówność:

$\frac{g{x}^2}{2}>0$  

Możemy zatem zapisać, że:

$H{v}_0^2>\frac{g{x}^2}{2}$

$2h{v}_0^2>\frac{g{\left(4h\right)}^2}{2}\mid :2$  

$h{v}_0^2>\frac{g\cdot {\sout{16}}^4{h}^2}{{\sout{4}}^1}$  

$h{v}_0^2>4g{h}^2\mid :h$  

$v_0^2>4gh\mid \sqrt{}$  

$v_0>\sqrt{4gh}$  

$v_0>2\sqrt{gh}$