Dane:

Indukcja pola magnetycznego:  $B$  

Liczba zwojów ramki oraz liczba wykonanych przez nią obrotów:  $n$  

Częstość obrotów ramki:  $\nu$  

 

$a)$  

Strumień magnetyczny obejmowany przez ramkę obracającą się ze stałą szybkością możemy zapisać za pomocą wzoru:

$\Phi =n\cdot B\cdot S\cdot \cos \left(\omega \cdot t\right)$  

gdzie Φ jest strumieniem pola magnetycznego o indukcji B działającym na ramkę o polu powierzchni S poruszającą się z częstością ω w czasie t. Pole powierzchni ramki ma postać:

$B=ab$  

Maksymalny strumień indukcji otrzymamy, jeżeli ramka będzie prostopadła do linii indukcji magnetycznej pola:

$\omega t=0^{\circ }$  

Z tego wynika, że:

${\Phi }_m=nBS\cos 0^{\circ }$  

${\Phi }_m=nBab$  

 

$b)$  

Zauważmy, że kąt obrotu ramki możemy przedstawić zależnością:

$\alpha =\omega \cdot t$  

Częstość obrotów w zależności od częstotliwości przedstawiamy wzorem:

$\omega =2\pi \nu$  

gdzie ω jest częstością, ν jest częstotliwością. Z tego wynika, że:

$\alpha =\omega t$  

$\alpha =2\pi \nu t$  

Wówczas strumień pola magnetycznego w zależności od kąta obrotu przedstawimy zależnością:

$\Phi =nBS\cos \left(\omega t\right)$  

$\Phi =nBab\cos \left(2\pi \nu t\right)$  

$\Phi =nBab\cos \alpha$  

 

$c)$  

Korzystając z prawa indukcji elektromagnetycznej Faradaya otrzymujemy wzór:

$\mathcal{E}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$  

gdzie ε jest siłą elektromotoryczną powstającą w pętli, ΔΦ jest zmianą strumienia indukcji magnetycznej, Δt jest zmianą czasu. Z tego wynika, że zmiana strumienia będzie miała postać:

$\Delta \Phi =n\cdot B\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha -n\cdot B\cdot a\cdot b\cdot \cos 0^{\circ }$  

$\Delta \Phi =n\cdot B\cdot a\cdot b\left(-1+\cos \alpha \right)$  

$\Delta \Phi =-nBab\left(1-\cos \alpha \right)$  

Czas obrotu ramki w zależności od wykonanych obrotów i częstości ruchu możemy przedstawić wzorem:

$t=\frac{n}{\nu }$  

gdzie t jest czasem ruchu, n jest liczbą wykonanych obrotów, ν jest częstością. Wówczas napięcie wyindukowane na końcach ramki ma postać: 

$\mathcal{E}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$  

$\mathcal{E}=-\frac{-\sout{n}Bab\left(1-\cos \alpha \right)}{\frac{\sout{n}}{\nu }}$  

$\mathcal{E}=\nu Bab\left(1-\cos \alpha \right)$  

 

$d)$  

Jeżeli napięcie jest maksymalne to otrzymujemy, że:

$\cos \alpha =\cos {90}^{\circ }=1$  

Wówczas:

${\mathcal{E}}_m=\nu Bab\left(1-\cos 0^{\circ }\right)$  

${\mathcal{E}}_m=\nu Bab$  

 

$e)$  

Jeżeli napięcie jest maksymalne to otrzymujemy, że:

$\mathcal{E}={\mathcal{E}}_m\text{ to }\alpha ={90}^{\circ }+n\pi$