W obwodzie przedstawionym obok...- Zadanie 22.20.: Repetytorium i zbiór zadań z fizyki. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Dane:

$R_{1} = 4 Ω$

$R_{2} = 3 Ω$

$R_{3} = 4 Ω$

$R_{4} = 2 Ω$

$U = 9 V$

Szukane:

$I_{4} = ?$

$U_{4} = ?$

Rozwiązanie:

Opór zastępczy

Zacznijmy od obliczenia oporu zastępczego całego obwodu. Zauważmy, że oporniki 3 i 4 połączone są szeregowo. Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo obliczamy korzystając z wzoru:

$R_{z} = i = 1 \sum n R_{i}$

gdzie R_z jest oporem zastępczym, R_i jest oporem poszczególnych oporników, n jest liczbą oporników w układzie. Z tego wynika, że:

$R_{34} = R_{3} + R_{4}$

Opornik 2 z układem oporników 3 i 4 połączony jest równolegle. Opór zastępczy oporników połączonych równolegle obliczamy korzystając z wzoru:

$\frac{1}{R _{z}} = i = 1 \sum n \frac{1}{R _{i}}$

gdzie R_z jest oporem zastępczym, R_i jest oporem poszczególnych oporników, n jest liczbą oporników w układzie. Z tego wynika, że:

$\frac{1}{R _{234}} = \frac{1}{R _{2}} + \frac{1}{R _{34}}$

$\frac{1}{R _{234}} = \frac{R _{34}}{R _{2} \cdot R _{34}} + \frac{R _{2}}{R _{2} \cdot R _{34}}$

$\frac{1}{R _{234}} = \frac{R _{2} + R _{34}}{R _{2} \cdot R _{34}}$

$R_{234} = \frac{R _{2} \cdot R _{34}}{R _{2} + R _{34}}$

$R_{234} = \frac{R _{2} \cdot ( R _{3} + R _{4} )}{R _{2} + R _{3} + R _{4}}$

Opornik 1 z układem oporników 2, 3, 4 połączony jest szeregowo. Z tego wynika, że opór zastępczy układu ma postać:

$R_{z} = R_{1} + R_{235}$

$R_{z} = R_{1} + \frac{R _{2} \cdot ( R _{3} + R _{4} )}{R _{2} + R _{3} + R _{4}}$

$R_{z} = R_{1} \cdot \frac{R _{2} + R _{3} + R _{4}}{R _{2} + R _{3} + R _{4}} + \frac{R _{2} \cdot ( R _{3} + R _{4} )}{R _{2} + R _{3} + R _{4}}$

$R_{z} = \frac{R _{1} \cdot ( R _{2} + R _{3} + R _{4} ) + R _{2} \cdot ( R _{3} + R _{4} )}{R _{2} + R _{3} + R _{4}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{z} = \frac{4 Ω \cdot ( 3 Ω + 4 Ω + 2 Ω ) + 3 Ω \cdot ( 4 Ω + 2 Ω )}{3 Ω + 4 Ω + 2 Ω} = \frac{4 Ω \cdot 9 Ω + 3 Ω \cdot 6 Ω}{9 Ω} =$

$= \frac{36 Ω ^{2} + 18 Ω ^{2}}{9 Ω} = \frac{54 Ω ^{2}}{9 Ω} = 6 Ω$

Natężenie prądu w obwodzie

Korzystając z prawa Ohma wiemy, że:

$U = R \cdot I$

gdzie U jest napięciem, I jest natężeniem, R jest oporem. Z tego wynika, że natężenie prądu płynącego w obwodzie ma postać:

$I = \frac{U}{R _{z}}$

$I = \frac{9 V}{6 Ω}$

$I = 1, 5 \frac{V}{Ω}$

$I = 1, 5 A$

Napięcie na oporniku 2

Wiemy, że przez opornik 1 przepływa prąd o takim samym natężeniu, jak przez cały obwód. Wówczas korzystając z prawa Ohma możemy zapisać, napięcie na tym oporniku będzie miało postać że:

$U_{1} = I_{1} R_{1}$

$U_{1} = I R_{1}$

Opornik 2 jest połączony równolegle z układem oporników 3 i 4, czyli napięcie na tym oporniku jest takie samo, jak na układzie oporników 3, 4.

$U_{2} = U_{3, 4}$

Ponieważ opornik 1 z układem oporników 2, 3, 4 połączony jest szeregowo to suma napięć na oporniku 1 i 2 będzie równa napięciu prądu w całym obwodzie:

$U = U_{1} + U_{2}$

Z tego wynika, że:

$U_{1} + U_{2} = U ∣ - U_{1}$

$U_{2} = U - U_{1}$

$U_{2} = U - I R_{1}$

$U_{2} = 9 V - 1, 5 A \cdot 4 Ω$

$U_{2} = 9 V - 6 A \cdot Ω$

$U_{2} = 9 V - 6 V$

$U_{2} = 3 V$

Natężenie prądu w oporniku 4

Ponieważ opornik 2 jest połączony równolegle z układem oporników 3 i 4 to, możemy zapisać, że:

$U_{3} + U_{4} = U_{2}$

Wiemy, że przez opornik 3 przepływa prąd o takim samym natężeniu jak przez opornik 4:

$I_{3} = I_{4}$

Z tego wynika, że:

$U_{3} + U_{4} = U_{2}$

$R_{3} I_{3} + R_{4} I_{4} = U_{2}$

$R_{3} I_{4} + R_{4} I_{4} = U_{2}$

$(R_{3} + R_{4}) I_{4} = U_{2} ∣ : (R_{3} + R_{4})$

$I_{4} = \frac{U _{2}}{R _{3} + R _{4}}$

$I_{4} = \frac{3 V}{4 Ω + 2 Ω}$

$I_{4} = \frac{3 V}{6 Ω}$

$I_{4} = 0, 5 \frac{V}{Ω}$

$I_{4} = 0, 5 A$

Napięcie na oporniku 4

Korzystając z prawa Ohma otrzymujemy, że:

$U_{4} = R_{4} I_{4}$

$U_{4} = 2 Ω \cdot 0, 5 A$

$U_{4} = 1 Ω \cdot A$

$U_{4} = 1 V$

Odp.: Natężenie prądu na oporniku 4 wynosi 0,5 A, a napięcie wynosi 1 V.

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.