Wahadło zawieszone w nieruchomej...- Zadanie *14.30.: Repetytorium i zbiór zadań z fizyki. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$

Dane:

$n = 30$

$t = 1 min = 60 s$

Przyjmujemy, że:

$g = 10 \frac{m}{s ^{2}}$

Szukane:

$T = ?$

$l = ?$

Rozwiązanie:

Okres drgań możemy przedstawić jako stosunek czas, w którym były wykonywane drgania do liczby wykonanych drgań:

$T = \frac{t}{n}$

gdzie t jest czasem, n jest liczbą wykonanych drgań. Z tego wynika, że okres drgań wahadła w nieruchomej windzie możemy przedstawić wzorem:

$T_{1} = \frac{t}{n}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_{1} = \frac{60 s}{30} = 2 s$

Odp.: Okres drgań wahadła w nieruchomej windzie wynosi $2 s .$

Okres ruchu drgań wahadła matematycznego przedstawiamy wzorem:

$T = 2 π \frac{l}{a}$

gdzie l jest długością tego wahadła, a jest przyspieszeniem działającym na wahadło. Z tego wynika, że długość wahadła w nieruchomej windzie możemy przedstawić zależnością:

$2 π \frac{l}{g} = T_{1}$

$2 π \frac{l}{g} = \frac{t}{n} ∣^{2}$

$4 π^{2} \frac{l}{g} = \frac{t ^{2}}{n ^{2}} ∣ \cdot g$

$4 π^{2} l = \frac{t ^{2} g}{n ^{2}} ∣ : 4 π^{2}$

$l = \frac{t ^{2} g}{4 π ^{2} n ^{2}}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$l = \frac{( 60 s ) ^{2} \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}}}{4 \cdot ( 3 , 14 ) ^{2} \cdot 30 ^{2}} = \frac{3600 ^{900} s ^{2} \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}}}{4 ^{1} \cdot 9 , 8596 \cdot 900 ^{1}} = \frac{10 m}{9 , 8596} \approx 1, 014 m$

Odp.: Długość tego wahadła wynosi około $1, 014 m .$

$b)$

Dane:

$T_{1} = 1, 8 s$

$T_{2} = 2, 2 s$

Szukane:

$a_{1} = ?$

$a_{2} = ?$

Rozwiązanie:

Aby zbadać ruch windy, należy zbadać przyspieszenia działające na wahadło w windzie. Korzystając z wzoru na okres drgań zbadajmy pierwszy przypadek:

$T_{1} = 2 π \frac{l}{a _{1}} ∣^{2}$

$T_{1}^{2} = 4 π^{2} \frac{l}{a _{1}} ∣ \cdot a_{1}$

$T_{1}^{2} a_{1} = 4 π^{2} l ∣ : T_{1}^{2}$

$a_{1} = \frac{4 π ^{2} l}{T _{1}^{2}}$

$a_{1} = \frac{4 π ^{2} \cdot \frac{t ^{2} g}{4 π ^{2} n ^{2}}}{T _{1}^{2}}$

$a_{1} = \frac{t ^{2} g}{n ^{2} T _{1}^{2}}$

Gdyby winda jechała w dół to jej przyspieszenie miałoby postać:

$a_{d 1} = a_{1} + g$

$a_{d 1} = \frac{t ^{2} g}{n ^{2} T _{1}^{2}} + g$

$a_{d 1} = (\frac{t ^{2}}{n ^{2} T _{1}^{2}} + 1) g$

$a_{d 1} = (\frac{( 60 s ) ^{2}}{30 ^{2} ( 1 , 8 s ) ^{2}} + 1) g$

$a_{d 1} = (\frac{3600 s ^{2}}{2916 s ^{2}} + 1) g$

$a_{d 1} \approx (1, 23 + 1) g$

$a_{d 1} \approx 2, 23 g$

Przyspieszenie będzie dodatnie i znacznie większe od przyspieszenia ziemskiego oraz winda porusza się w dół.

Gdyby winda jechała do góry to jej przyspieszenie miałoby postać:

$a_{g 1} = a_{1} - g$

$a_{g 1} = \frac{t ^{2} g}{n ^{2} T _{1}^{2}} - g$

$a_{g 1} = (\frac{t ^{2}}{n ^{2} T _{1}^{2}} - 1) g$

$a_{g 1} = (\frac{( 60 s ) ^{2}}{30 ^{2} ( 1 , 8 s ) ^{2}} - 1) g$

$a_{g 1} = (\frac{3600 s ^{2}}{900 \cdot 3 , 24} - 1) g$

$a_{g 1} = (\frac{3600 s ^{2}}{2916 s ^{2}} - 1) g$

$a_{g 1} \approx (1, 23 - 1) g$

$a_{g 1} \approx 0, 23 g$

Przyspieszenie będzie dodatnie, ale mniejsze od przyspieszenia ziemskiego oraz winda porusza się w górę.

Zbadajmy przyspieszenie wahadła dla drugiego okresu drgań:

$T_{2} = 2 π \frac{l}{a _{2}} ∣^{2}$

$T_{2}^{2} = 4 π^{2} \frac{l}{a _{2}} ∣ \cdot a_{2}$

$T_{2}^{2} a_{2} = 4 π^{2} l ∣ : T_{2}^{2}$

$a_{2} = \frac{4 π ^{2} l}{T _{2}^{2}}$

$a_{2} = \frac{4 π ^{2} \cdot \frac{t ^{2} g}{4 π ^{2} n ^{2}}}{T _{2}^{2}}$

$a_{2} = \frac{t ^{2} g}{n ^{2} T _{2}^{2}}$

Gdyby winda poruszała się w dół to jej przyspieszenie miałoby postać:

$a_{d 2} = a_{2} + g$

$a_{d 2} = \frac{t ^{2} g}{n ^{2} T _{2}^{2}} + g$

$a_{d 2} = (\frac{t ^{2}}{n ^{2} T _{2}^{2}} + 1) g$

$a_{d 2} = (\frac{( 60 s ) ^{2}}{30 ^{2} \cdot ( 2 , 2 s ) ^{2}} + 1) \cdot g$

$a_{d 2} = (\frac{3600 s ^{2}}{900 \cdot 4 , 84 s ^{2}} + 1) \cdot g$

$a_{d 2} = (\frac{3600 s ^{2}}{4356 s ^{2}} + 1) \cdot g$

$a_{d 2} \approx (0, 83 + 1) g$

$a_{d 2} \approx 1, 83 g$

Przyspieszenie będzie dodatnie i większe od przyspieszenia ziemskiego oraz winda porusza się w dół.

Gdyby winda poruszała się do góry to jej przyspieszenie miałoby postać:

$a_{g 2} = a_{2} - g$

$a_{g 2} = \frac{t ^{2} g}{n ^{2} T _{2}^{2}} - g$

$a_{g 2} = (\frac{t ^{2}}{n ^{2} T _{2}^{2}} - 1) g$

$a_{g 2} = (\frac{( 60 s ) ^{2}}{30 ^{2} \cdot ( 2 , 2 s ) ^{2}} - 1) \cdot g$

$a_{g 2} = (\frac{3600 s ^{2}}{900 \cdot 4 , 84 s ^{2}} - 1) \cdot g$

$a_{g 2} = (\frac{3600 s ^{2}}{4356 s ^{2}} - 1) \cdot g$

$a_{g 2} \approx (0, 83 - 1) g$

$a_{g 2} \approx - 0, 17 g$

Przyspieszenie będzie ujemne (opóźnienie), ale mniejsze od przyspieszenia ziemskiego oraz winda porusza się w górę.

Otrzymaliśmy cztery rodzaje przyspieszenia:

$dla T_{1} ruch w d \overset{o}{ˊ} ł : a_{d 1} \approx 2, 23 g$

$dla T_{1} ruch do g \overset{o}{ˊ} ry: a_{g 1} \approx 0, 23 g$

$dla T_{2} ruch w d \overset{o}{ˊ} ł : a_{d 2} \approx 1, 83 g$

$dla T_{2} ruch do g \overset{o}{ˊ} ry: a_{g 2} \approx - 0, 17 g$

Winda najpierw zjeżdża w dół, zaczyna zjeżdżać z I piętra z mniejszym przyspieszeniem a_d2, a przy parterze hamować z większym przyspieszeniem a_d1. Następnie z parteru zaczyna wyjeżdżać do góry z większym przyspieszeniem a_g1, aby na piętrze zacząć hamować z przyspieszeniem a_g2.

Odp.: Wahadło drga z okresem T₁ przy zatrzymywaniu się na parterze oraz przy wjeżdżaniu z parteru na piętro. Wahadło drga z okresem T₂ przy zjeździe z piętra na parter oraz przy zatrzymywaniu się na piętrze po wjeździe z parteru.

$c)$

Dane:

$T_{1} = 1, 5 s$

Szukane:

$a_{w} = ?$

Rozwiązanie:

Wyznaczmy przyspieszenie działające na wahadło drgające z podanym okresem:

$T_{1} = 2 π \frac{l}{a} ∣^{2}$

$T_{1}^{2} = 4 π^{2} \frac{l}{a} ∣ \cdot a$

$T_{1}^{2} a = 4 π^{2} l ∣ : T_{1}^{2}$

$a = \frac{4 π ^{2} l}{T _{1}^{2}}$

$a = \frac{4 π ^{2} \cdot \frac{t ^{2} g}{4 π ^{2} n ^{2}}}{T _{1}^{2}}$

$a = \frac{t ^{2} g}{n ^{2} T _{1}^{2}}$

Gdyby winda poruszała się w dół, to jej przyspieszenie wynosiłoby:

$a_{w} = a + g$

$a_{w} = \frac{t ^{2} g}{n ^{2} T _{1}^{2}} + g$

$a_{w} = (\frac{t ^{2}}{n ^{2} T _{1}^{2}} + 1) g$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a_{w} = (\frac{( 60 s ) ^{2}}{30 ^{2} ( 1 , 5 s ) ^{2}} + 1) \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} = (\frac{3600 ^{4} s ^{2}}{900 ^{1} \cdot 2 , 25 s ^{2}} + 1) \cdot 10 \frac{m}{s} \approx (1, 78 + 1) \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} =$

$= 2, 78 \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} = 27, 8 \frac{m}{s ^{2}}$

Odp.: Gdyby winda poruszała się w dół, to jej przyspieszenie wynosiłoby około $27, 8 \frac{m}{s ^{2}} .$

Gdyby winda poruszała się do góry, to jej przyspieszenie wynosiłoby:

$a_{w} = a - g$

$a_{w} = \frac{t ^{2} g}{n ^{2} T _{1}^{2}} - g$

$a_{w} = (\frac{t ^{2}}{n ^{2} T _{1}^{2}} - 1) g$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$a_{w} = (\frac{( 60 s ) ^{2}}{30 ^{2} ( 1 , 5 s ) ^{2}} - 1) \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} = (\frac{3600 ^{4} s ^{2}}{900 ^{1} \cdot 2 , 25 s ^{2}} - 1) \cdot 10 \frac{m}{s} \approx (1, 78 - 1) \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} =$

$= 0, 78 \cdot 10 \frac{m}{s ^{2}} = 7, 8 \frac{m}{s ^{2}}$

Odp.: Gdyby winda poruszała się do góry, to jej przyspieszenie wynosiłoby około $7, 8 \frac{m}{s ^{2}} .$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.