Dane:

▶ ilość ciepła dostarczonego do wody w przypadku A: $Q_{\text{A}}=4200\text{J}$

Szukane:

▶ ilość ciepła dostarczonego do wody w przypadku B: $Q_{\text{B}}=\text{?}$

▶ ilość ciepła dostarczonego do wody w przypadku C: $Q_{\text{C}}=\text{?}$

▶ ilość ciepła dostarczonego do wody w przypadku D: $Q_{\text{D}}=\text{?}$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ilości energii, jaką należało dostarczyć do każdego z przypadków opisanych w treści zadania. Wiemy, że w przypadku porcji wody na rysunku A należało dostarczyć:

$Q_{\text{A}}=4200\text{J}$

Na zlewce z wodą dla przypadku A odczytujemy objętość wody:

$V_{\text{A}}=100$

Nie mamy podanej jednostki, zatem nie będzie jej przyjmować — w kolejnych etapach zauważymy, że nie będzie nam ona potrzebna. Z termometru odczytujemy również temperaturę początkową oraz temperaturę końcową:

$T_{p.\text{A}}=20^{\circ }\text{C}$

$T_{k.\text{A}}=30^{\circ }\text{C}$

W każdym przypadku mamy tę samą ciecz — wodę, której ciepło właściwe będziemy oznaczać jako $c_{\text{w}}$. Teraz przejdźmy do opisu ilości ciepła, jaki musimy dostarczyć do wody, aby ją ogrzać.

CIEPŁO A PRZYROST TEMPERATURY Ilość ciepła potrzebna do określonego przyrostu temperatury ciała wyraża się wzorem: $Q=mc\Delta T$ gdzie: $Q$ - ciepło oddane lub pobrane przez ciało,  $m$ - masa ciała,  $c$ - ciepło właściwe substancji, z której wykonano ciało,  $\Delta T$ - zmiana temperatury ciała.

Zmianę temperatury ciała opisujemy wzorem:

$\Delta T=T_k-T_p$

gdzie:

$\Delta T$ - zmiana temperatury ciała,

$T_k$ - temperatura końcowa,

$T_p$ - temperatura początkowa.

Wówczas, wzór na ciepło, jakie dostarczono do ogrzania wody w przypadku A, przyjmuję postać:

$Q_{\text{A}}=m_{\text{A}}{c}_{\text{w}}\left(T_{k.\text{A}}-T_{p\text{.A}}\right)$

Nie znamy masy wody, jaka została wlana do menzurki, ale znamy jej objętość $V_{\text{A}}$. Do wyznaczenia masy posłużymy się definicją gęstości.

GĘSTOŚĆ Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że: $d=\frac{m}{V}$ gdzie: $d$ - gęstość ciała,  $m$ - masa ciała,  $V$ - objętość ciała.

Przekształcamy powyższy wzór tak, aby otrzymać wzór na masę ciała:

$\frac{m}{V}=d|\cdot V$

$m=dV$

Wówczas, wzór na masę wody, przyjmie postać:

$m_{\text{w}}=d_{\text{w}}{V}_{\text{w}}$

Wracamy do wzoru na ciepło dostarczone do wody w przypadku A:

$Q_{\text{A}}=d_{\text{w}}{V}_{\text{A}}{c}_{\text{w}}\left(T_{k.\text{A}}-T_{p\text{.A}}\right)$

$Q_{\text{A}}=d_{\text{w}}{c}_{\text{w}}{V}_{\text{A}}\left(T_{k.\text{A}}-T_{p.\text{A}}\right)$

Ciepło dostarczone do wody w przypadku B

Analogicznie możemy zapisać, że wzór na ciepło dostarczone do wody w przypadku B przyjmuje postać:

$Q_{\text{B}}=d_{\text{w}}{c}_{\text{w}}{V}_{\text{B}}\left(T_{k.\text{B}}-T_{p.\text{B}}\right)$

Wyznaczamy stosunek tych wielkości:

$\frac{Q_{\text{B}}}{Q_{\text{A}}}=\frac{d_{\text{w}}{c}_{\text{w}}{V}_{\text{B}}\left(T_{k.\text{B}}-T_{p.\text{B}}\right)}{d_{\text{w}}{c}_{\text{w}}{V}_{\text{A}}\left(T_{k.\text{A}}-T_{p.\text{A}}\right)}$

$\frac{Q_{\text{B}}}{Q_{\text{A}}}=\frac{\cancel{d_{\text{w}}{c}_{\text{w}}}{V}_{\text{B}}\left(T_{k.\text{B}}-T_{p.\text{B}}\right)}{\cancel{d_{\text{w}}{c}_{\text{w}}}{V}_{\text{A}}\left(T_{k.\text{A}}-T_{p.\text{A}}\right)}$

$\frac{Q_{\text{B}}}{Q_{\text{A}}}=\frac{V_{\text{B}}}{V_{\text{A}}}\frac{T_{k.\text{B}}-T_{p.\text{B}}}{T_{k.\text{A}}-T_{p.\text{A}}}|\cdot Q_{\text{A}}$

$Q_{\text{B}}=\left(\frac{V_{\text{B}}}{V_{\text{A}}}\frac{T_{k.\text{B}}-T_{p.\text{B}}}{T_{k.\text{A}}-T_{p.\text{A}}}\right)Q_{\text{A}}$

Z rysunku dla przypadku B odczytujemy:

$V_{\text{B}}=100$

$T_{k.\text{B}}=40^{\circ }\text{C}$

$T_{k.\text{A}}=20^{\circ }\text{C}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$Q_{\text{B}}=\left(\frac{100}{100}\cdot \frac{40^{\circ }\text{C}-20^{\circ }\text{C}}{30^{\circ }\text{C}-20^{\circ }\text{C}}\right)\cdot 4200\text{J}=$

$=\left(\frac{20\cancel{{}^{\circ }\text{C}}}{10\cancel{{}^{\circ }\text{C}}}\right)\cdot 4200\text{J}=2\cdot 4200\text{J}=8400\text{J}$

Ciepło dostarczone do wody w przypadku C

Analogicznie jak w poprzednik przypadku, zapiszemy, że wzór na ciepło dostarczone do wody w przypadku C przyjmuje postać:

$Q_{\text{C}}=d_{\text{w}}{c}_{\text{w}}{V}_{\text{C}}\left(T_{k.\text{C}}-T_{p.\text{C}}\right)$

Wówczas otrzymamy stosunek:

$\frac{Q_{\text{C}}}{Q_{\text{A}}}=\frac{V_{\text{C}}}{V_{\text{A}}}\frac{T_{k.\text{C}}-T_{p.\text{C}}}{T_{k.\text{A}}-T_{p.\text{A}}}|\cdot Q_{\text{A}}$

$Q_{\text{C}}=\left(\frac{V_{\text{C}}}{V_{\text{A}}}\frac{T_{k.\text{C}}-T_{p.\text{C}}}{T_{k.\text{A}}-T_{p.\text{A}}}\right)Q_{\text{A}}$

Z rysunku dla przypadku B odczytujemy:

$V_{\text{C}}=400$

$T_{k.\text{C}}=40^{\circ }\text{C}$

$T_{k.\text{C}}=30^{\circ }\text{C}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$Q_{\text{C}}=\left(\frac{400}{100}\cdot \frac{40^{\circ }\text{C}-30^{\circ }\text{C}}{30^{\circ }\text{C}-20^{\circ }\text{C}}\right)\cdot 4200\text{J}=$

$=\left(4\cdot \frac{10\cancel{{}^{\circ }\text{C}}}{10\cancel{{}^{\circ }\text{C}}}\right)\cdot 4200\text{J}=4\cdot 4200\text{J}=16800\text{J}$

Ciepło dostarczone do wody w przypadku D

Analogicznie jak w poprzednik przypadku, zapiszemy, że wzór na ciepło dostarczone do wody w przypadku D przyjmuje postać:

$Q_{\text{D}}=d_{\text{w}}{c}_{\text{w}}{V}_{\text{D}}\left(T_{k.\text{D}}-T_{p.\text{D}}\right)$

Wówczas otrzymamy stosunek:

$\frac{Q_{\text{D}}}{Q_{\text{A}}}=\frac{V_{\text{D}}}{V_{\text{A}}}\frac{T_{k.\text{D}}-T_{p.\text{D}}}{T_{k.\text{A}}-T_{p.\text{A}}}|\cdot Q_{\text{A}}$

$Q_{\text{C}}=\left(\frac{V_{\text{D}}}{V_{\text{A}}}\frac{T_{k.\text{D}}-T_{p.\text{D}}}{T_{k.\text{A}}-T_{p.\text{A}}}\right)Q_{\text{A}}$

Z rysunku dla przypadku B odczytujemy:

$V_{\text{D}}=400$

$T_{k.\text{D}}=40^{\circ }\text{C}$

$T_{k.\text{D}}=20^{\circ }\text{C}$

Podstawiamy dane do wzoru:

$Q_{\text{D}}=\left(\frac{400}{100}\cdot \frac{40^{\circ }\text{C}-20^{\circ }\text{C}}{30^{\circ }\text{C}-20^{\circ }\text{C}}\right)\cdot 4200\text{J}=$

$=\left(4\cdot \frac{20\cancel{{}^{\circ }\text{C}}}{10\cancel{{}^{\circ }\text{C}}}\right)\cdot 4200\text{J}=4\cdot 2\cdot 4200\text{J}=$

$=8\cdot 4200\text{J}=33600\text{J}$

Odpowiedź: Dla przypadku B potrzeba dostarczyć $8400\text{J}$ energii, dla przypadku  C potrzeba dostarczyć $16800\text{J}$, a dla przypadku D aż $33600\text{J}$.