Człowiek, używając kołowrotu, wyciąga ze studni...- Zadanie 1: Spotkania z fizyką 7. Nowa edycja 2023–2025

Rozwiązanie

Dane:

▶ masa wiadra z wodą: $m_{1} = 10 kg$ ,

▶ czas, w jakim człowiek wyciąga ze studni wiadro z wodą: $t_{1} = 30 s$ ,

▶ objętość wody, jaką wypompowuje pompa: $V_{2} = 10 l$

▶ czas, w jakim pompa wypompowuje wodę: $t_{2} = 10 s$ .

Szukane:

▶ Porównanie mocy pompy z mocą człowieka: $\frac{P _{2}}{P _{1}} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym zadaniem jest porównanie mocy pompy z mocą człowieka, aby ocenić, które ciało ma większą moc.

MOC

Moc możemy zdefiniować jako ilość pracy wykonanej w danym czasie, czyli:

$P = \frac{W}{t}$

gdzie:

$P$ - moc,

$W$ - praca, jaka została wykonana,

$t$ - czas, w jakim wykonano pracę.

PRACA ZGODNIE ZE ZWROTEM PRZEMIESZCZENIA

Pracę wykonaną przy przemieszczaniu ciała przy pomocy siły o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem przemieszczenia tego ciała wyrażamy jako:

$W = F s$

gdzie:

$W$ - wykonana praca,

$F$ - wartość siły przyłożonej do ciała,

$s$ - droga przebyta przez ciało.

Zauważmy, że zarówno człowiek, jak i pompa musi wyciągnąć ze studni pewną masę wody $m$ . Oznacza to, że każde z ciał musi działać na wodę o masie $m$ z siłą, która będzie co najmniej równoważyć siłę ciężkości tej wody. Zapiszemy więc, że siła, która musi działać na wodę o masie $m$ , aby wyciągnąć ją ze studni, ma wartość równą wartości siły ciężkości wody:

$F = F_{g}$

WARTOŚĆ SIŁY CIĘŻKOŚCI

Wartość siły ciężkości możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_{g} = m g$

gdzie:

$F_{g}$ - wartość siły ciężkości,

$m$ - masa ciała,

$g$ - wartość przyspieszenia ziemskiego.

Pompa wypompowuje $10 l$ . Zgodnie z powyższym wzorem wartość siły ciężkości jest wprost proporcjonalna do masy ciała, zatem musimy wyznaczyć masę wody, jaką wypompowuje pompa. Przyjmujemy, że $1 l$ wody (w sensie objętości) jest równy $1 dm^{3}$ . Wówczas:

$V_{2} = 10 l = 10 dm^{3}$

Wiemy, że:

$1 dm = 0, 1 m$

Zatem:

$1 dm^{3} = (1 dm)^{3} = (0, 1 m)^{3} = 0, 001 m^{3}$

Wówczas:

$V_{2} = 10 \cdot 1 dm^{3} = 10 \cdot 0, 001 m^{3} = 0, 01 m^{3}$

GĘSTOŚĆ

Korzystając, z definicji gęstości wiemy, że:

$d = \frac{m}{V}$

gdzie:

$d$ - gęstość ciała,

$m$ - masa ciała,

$V$ - objętość ciała.

Przekształcamy powyższy wzór i zapisujemy:

$\frac{m}{V} = d ∣ \cdot V$

$m = d V$

Wówczas, zapiszemy:

$m_{2} = d_{w} V_{2}$

gdzie:

$m_{2}$ - masa wody, jaką wypompowuje pompa,

$d_{w}$ - gęstość wody,

$V_{2}$ - objętość wody, jaką wypompowuje pompa.

Z tabeli 2 na końcu podręcznika odczytujemy, że gęstość wody przy temperaturze pokojowej ( $2 0^{\circ} C$ ) wynosi:

$d_{w} = 998 \frac{kg}{m ^{3}}$

Podstawiamy dane do wzoru i wyznaczamy masę wody, jaką wypompowuje pompa:

$m_{2} = 998 \frac{kg}{m ^{3}} \cdot 0, 01 m^{3} =$

$m_{2} = 998 \cdot 0, 01 \frac{kg}{m ^{3}} \cdot m^{3} = 9, 98 kg \approx 10 kg$

Możemy przyjąć, że zarówno pompa, jak i człowiek wyciąga ze studni wodę o tej samej masie:

$m_{1} = m_{2} = m = 10 kg$

Skoro maszyna i człowiek podnoszą taką samą ilość wody (o masie $m$ ), to siła, z jaką maszyna lub człowiek działa na wiadro z wodą, jest taka sama równa wartości siły ciężkości wody:

$F = F_{g}$

$F = m g$

Przyjmujemy, że woda, w trakcie wyciągania ze studni, pokonuję drogę $s$ (z dołu studni aż na powierzchnię ziemi). Wówczas praca, jaką wykonuje pompa oraz człowiek jest taka sama i opisuje ją wzór:

$W = F s$

$W = m g s$

Jednak czas, w jakim człowiek wyciąga wiadro ze studni, wynosi $t_{1}$ , natomiast czas, w jakim pompa wypompowuje tę samą masę wody, wynosi $t_{2}$ . Zapiszemy więc, że moc człowieka opisuje wzór:

$P_{1} = \frac{W}{t _{1}}$

Natomiast moc pompy opisuje wzór:

$P_{2} = \frac{W}{t _{2}}$

Zauważmy, że moc jest odwrotnie proporcjonalna do czasu dla stałej pracy:

$P \sim \frac{1}{t}$

Im większy czas, w jakim dane ciało wykonuje pracę, to, tym mniejsza jest moc. Jeżeli więc człowiek, jak i pompa wykonują tę samą pracę, ale człowiek wykonuję tę pracę w dłuższym czasie, to wynika z tego, że większą moc ma pompa. Możemy teraz obliczyć, ile razy większa jest ta moc:

$\frac{P _{2}}{P _{1}} = \frac{\frac{W}{t _{2}}}{\frac{W}{t _{1}}}$