Dane:

$r_1=100000\mathrm{km}={10}^5\mathrm{km}={10}^5\cdot {10}^3\mathrm{m}={10}^8\mathrm{m}$  

$r_2=10\mathrm{km}=10\cdot {10}^3\mathrm{m}={10}^4\mathrm{m}$  

$T_1=30\text{dni}=720\mathrm{h}=2592000\mathrm{s}=2,592\cdot {10}^6\mathrm{s}$  

$I=\frac{2}{5}m{r}^2$

Szukane:

$T_2=?$

Rozwiązanie:

Wiemy, że pulsary zachowują stałą masę jądra, czyli momenty bezwładności przed i po zmniejszeniu promienia możemy wyrazić wzorami:

$I_1=\frac{2}{5}m{r}_1^2$  

$I_2=\frac{2}{5}m{r}_2^2$  

gdzie:

$I_1$ - moment bezwładności jądra gwiazdy przed zmniejszeniem,

$I_2$ - moment bezwładności jądra gwiazdy po zmniejszeniu,

$m$ - masa jądra,

$r_1$ - promień jądra gwiazdy przed zmniejszeniem,

$r_2$ - promień jądra gwiazdy po zmniejszeniu.

Wartość momentu pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L=I\omega$  

gdzie:

$L$ - wartość momentu pędu bryły sztywnej,

$I$ - moment bezwładności,

$\omega$ - wartość prędkości kątowej.

Wartość prędkości kątowej wyrażamy za pomocą wzoru:

$\omega =\frac{2\pi }{T}$  

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej,

$\pi$ - liczba π,

$T$ - okres obrotu.

Zatem:

$L=\frac{2\pi I}{T}$

Z tego wynika, że początkowy i końcowy moment pędu jądra gwiazdy ma postać:

$L_1=\frac{2\pi I_1}{T_1}$  

$L_2=\frac{2\pi I_2}{T_2}$  

gdzie:

$L_1$ - wartość momentu pędu gwiazdy przed zmniejszeniem promienia,

$L_2$ - wartość momentu pędu gwiazdy po zmniejszeniu promienia.

Korzystając z zasady zachowania momentu pędu wyznaczamy okres ruchu pulsara po zmniejszeniu się jego promienia:

$L_1=L_2$  

$\frac{2\pi I_1}{T_1}=\frac{2\pi I_2}{T_2}\mid :2\pi$

$\frac{I_1}{T_1}=\frac{I_2}{T_2}$

Wymnażamy na krzyż:

$I_1{T}_2=I_2{T}_1\mid :I_1$

$T_2=\frac{I_2}{I_1}{T}_1$

$T_2=\frac{\frac{2}{5}m{r}_2^2}{\frac{2}{5}m{r}_1^2}{T}_1$

$T_2=\frac{r_2^2}{r_1^2}{T}_1$

$T_2={\left(\frac{r_2}{r_1}\right)}^2{T}_1$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_2={\left(\frac{{10}^4\mathrm{m}}{{10}^8\mathrm{m}}\right)}^2\cdot 2,592\cdot {10}^6\mathrm{s}={\left({10}^{-4}\right)}^2\cdot 2,592\cdot {10}^6\mathrm{s}=$  

$={10}^{-8}\cdot 2,592\cdot {10}^6\mathrm{s}=2,592\cdot {10}^{-2}\mathrm{s}=0,02592\mathrm{s}\approx 0,03\mathrm{s}$  

Odpowiedź: Z obliczeń wynika, ze zmniejszenie się promienia prowadzi do zmiany okresu do części setnych sekundy.