$1.$  

Dane:

Z tabeli odczytujemy:

$T_K=1,9\text{dni}$  

$R_K=2,95\cdot {10}^5\mathrm{km}$  

$R_E=1,52\cdot {10}^5\mathrm{km}$  

Szukane:

$T_E=?$

Rozwiązanie:

Trzecie prawo Keplera mówi, że kwadraty okresów obiegu satelitów wokół ciała centralnego są proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od tego ciała. Zapisujemy je za pomocą wzoru:

$\frac{T^2}{r^3}=const$

gdzie:

$T$ - okres obiegu ciała,

$r$ - promień orbity.

Z tego wynika, że:

$\frac{T_K^2}{R_K^3}=\frac{T_E^2}{R_E^3}$    

gdzie:

$T_K$ - okres obiegu Kalipso,

$R_K$ - promień orbity Kalipso,

$T_P$ - okres obiegu Epimeteusa,

$R_P$ - promień orbity Epimeteusa.

Wówczas otrzymujemy, że okres obiegu Epimeteusa wynosi:

$\frac{T_K^2}{R_K^3}=\frac{T_E^2}{R_E^3}\mid \cdot R_E^3$  

$T_E^2=T_K^2\frac{R_E^3}{R_K^3}$  

$T_E^2=T_K^2{\left(\frac{R_E}{R_K}\right)}^3\mid \sqrt{}$  

$T_E=\sqrt{T_K^2{\left(\frac{R_E}{R_K}\right)}^3}$  

$T_E=T_K\sqrt{{\left(\frac{R_E}{R_K}\right)}^3}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$T_E=1,9\text{dni}\cdot \sqrt{{\left(\frac{1,52\cdot {10}^5\mathrm{km}}{2,95\cdot {10}^5\mathrm{km}}\right)}^3}\approx$  

$\approx 1,9\text{dni}\cdot \sqrt{{\left(0,515\right)}^3}\approx 1,9\text{dni}\cdot \sqrt{0,13659}\approx$

$\approx 1,9\text{dni}\cdot 0,36958=0,702202\text{dnia}\approx 0,7\text{dnia}$  

Odpowiedź: Okres obiegu Epimeteusa wynosi około 0,7 dnia.

 

$2.$  

Naszym zadaniem jest wyznaczenie wzoru na masę Saturna przy wykorzystaniu danych zawartych w tabeli.

Skorzystamy z faktu, że siła grawitacji pełni w ruchu księżyca po orbicie rolę siły dośrodkowej:

$F_d=F_g$

gdzie:

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej,

$F_g$ - wartość siły grawitacji.

Wartość siły grawitacji działającej na Kalipso przedstawimy wzorem:

$F_g=\frac{GM{m}_K}{R_K^2}$  

gdzie:

$G$ - stała grawitacji,

$M$ - masa Saturna,

$R_K$ - promień orbity Kalipso,

$m_K$ - masa Kalipso.

Wartość siły dośrodkowej przedstawimy za pomocą wzoru:

$F_d=\frac{m_K{v}^2}{R_K}$  

gdzie:

$v$ - wartość prędkości liniowej Kalipso.

Korzystając z powyższych wzorów wyznaczamy wyrażenie na masę Saturna:

$F_d=F_g$  

$\frac{m_K{v}^2}{R_K}=\frac{GM{m}_K}{R_K^2}|:m_K$

$\frac{v^2}{R_K}=\frac{GM}{R_K^2}|\cdot R_K^2$

$v^2{R}_K=GM|:G$

$M=\frac{v^2{R}_K}{G}$

Wartość prędkości liniowej w zależności od kątowej przedstawimy wzorem:

$v_{}=\omega R_K$  

gdzie:

$\omega$ - wartość prędkości kątowej.

Wartość prędkości kątowej, w zależności od okresu ruchu przedstawiamy wzorem:

$\omega =\frac{2\pi }{T_K}$  

gdzie:

$\pi$ - liczba π,

$T_K$ - okres ruchu Kalipso.

Z tego wynika, że wartość prędkości liniowej Kalipso możemy przedstawić wzorem:

$v_{}=\omega R_K$  

$v_{}=\frac{2\pi }{T_K}\cdot R_K$  

$v_{}=\frac{2\pi R_K}{T_K}$  

Zatem:

$M=\frac{{\left(\frac{2\pi R_K}{T_K}\right)}^2{R}_K}{G}$

$M=\frac{\frac{4{\pi }^2{R}_K^2}{T_K^2}{R}_K}{G}$

$M=\frac{4{\pi }^2{R}_K^3}{G{T}_K^2}$