$1.$  

Dane:

$n=4$

$E_1=-13,6\text{eV}$

Szukane:

$E_4=?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest uzupełnienie brakującej wartości całkowitej energii atomu wodoru w tabeli. Wiemy, że wzór opisujący energie elektronu w zależności od numeru orbity jest dany wzorem:

$E_n=\frac{E_1}{n^2}$  

gdzie:

$E_n$  - energia elektronu na n-tej orbicie,

$n$  - numer orbity,

$E_1$  - energia na pierwszej orbicie.

Obliczmy energię na czwartej orbicie:

$E_4=\frac{E_1}{4^2}$  

$E_4=\frac{-13,6\text{eV}}{16}=-0,85\text{eV}$  

Odpowiedź: Brakująca wartość w tabeli to $-0,85\text{eV}$.

 

$2.$  

Chcemy wykonać wykres zależności całkowitej energii atomu wodoru od promienia orbity. Z tego wynika, że na osi X zaznaczymy wartości promienia orbity, a na osi Y wartości energii na danej orbicie.  Korzystając z tych informacji rysujemy:

Następnie nanosimy na wykres punkty odpowiadające wartościom energii z tabeli. Nie łączymy ich krzywą, ponieważ poziomy energetyczne są skwantowane - mogą przyjmować wyłącznie określone wartości. Gdyby energia była wielkością ciągłą, elektron mógłby znajdować się np. na orbicie o numerze 1,5, jednak wiemy, że jest to niemożliwe. W związku z tym wykres będzie składał się z oddzielnych punktów (lub linii), a nie ciągłej krzywej. Możemy teraz wykonać odpowiedni rysunek:

 

$3.$  

Dane:

$n=1$

$r_1=0,53\cdot {10}^{-10}\text{m}$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przybliżonej wartości liczby pi: $\pi =3,14$,

▶ stałej Plancka: $h=6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$,

▶  masy spoczynkowej elektronu: $m_e=9,109\cdot {10}^{-31}\text{kg}$.

Szukane:

$v=\text{?}$  

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie prędkości elektronu na pierwszej orbicie, korzystając z postulatu Bohra. Pierwszy postulat Bohra mówi nam, że elektron może krążyć w atomie tylko po takich orbitach kołowych, dla których wartość momentu pędu jest równa całkowitej wielokrotności stałej Diraca, czyli stałej Plancka podzielonej przez $2\pi$:

$L=n\cdot \frac{h}{2\pi }$

gdzie: 

$n$ - liczba naturalna odpowiadająca numerowi orbity,

$h$ - stała Plancka,

$\pi$ - liczba pi.

Elektron krążący po orbicie możemy potraktować jak bryłę sztywną obracającą się wokół osi przechodzącej przez jądro atomowe. Moment pędu bryły sztywnej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$L=I\omega$  

gdzie:

$L$  - moment pędu bryły sztywnej,

$I$  - moment bezwładności,

$\omega$  - częstość kątowa.

Elektron traktujemy jak punkt materialny, dlatego jego moment bezwładności wynosi:

$I=m{r}^2$  

gdzie:

$m$  - masa elektronu,

$r$  - promień orbity kołowej, po jakiej porusza się elektron.

Prędkość kątową w zależności od prędkości liniowej przedstawiamy wzorem:

$\omega =\frac{v}{r}$  

gdzie:

$\omega$  - prędkość kątowa,

$v$  - prędkość liniowa,

$r$  - promień okręgu, po jakim się porusza ciało.

Przyrównujemy oba wzory na moment pędu:

$I\omega =\frac{nh}{2\pi }$  

Podstawiając wzory na moment bezwładności oraz prędkość kątową:

$m{r}^{\cancel{2}}\cdot \frac{v}{\cancel{r}}=\frac{nh}{2\pi }$  

$mrv=\frac{nh}{2\pi }|:mr$  

$v=\frac{nh}{2\pi mr}$  

Wiemy, że elektron porusza się po orbicie, więc:

$v=\frac{1\cdot h}{2\pi m_e{r}_1}$

$v=\frac{h}{2\pi m_e{r}_1}$

gdzie:

 $m_e$ - masa spoczynkowa elektronu,

$r_1$ - promień pierwszej orbity.

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\frac{6,626\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}}{2\cdot 3,14\cdot 9,109\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot 0,53\cdot {10}^{-10}\text{m}}=$  

$=\frac{6,626}{6,28\cdot 9,109\cdot 0,53}\cdot \frac{{10}^{-34}}{{10}^{-31}\cdot {10}^{-10}}\frac{\text{J}\cdot \text{s}}{\text{kg}\cdot \text{m}}=$  

$=\frac{6,626}{30,3183956}\cdot \frac{{10}^{-34}}{{10}^{-41}}\frac{\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}\cdot \text{s}}{\text{kg}\cdot \text{m}}=$  

$\approx 0,2185\cdot {10}^7\frac{\text{m}}{\text{s}}\approx 2190000\frac{\text{m}}{\text{s}}=$

$=2,19\cdot 10^6\frac{\text{m}}{\text{s}}$  

Odpowiedź: Wartość prędkości poruszania się elektronu na pierwszej orbicie wynosi około $2,19\cdot {10}^6\frac{\text{m}}{\text{s}}$.