Podczas zajęć koła biologicznego...- Zadanie Zadanie 522.: Fizyka. Zbiór zadań maturalnych. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Dane:

$n_{s} = \frac{3}{2}$

$n_{w} = \frac{4}{3}$

$f_{p} = 7, 5 cm = 0, 075 m$

$l = 125 cm = 1, 25 m$

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ współczynnika załamania powietrza: $n_{p} = 1$

$1.$

Szukane:

$f_{w} = ?$

Rozwiązanie:

Naszym celem jest obliczenie ogniskowej soczewki. Wiemy, że w tym przypadku musimy uwzględnić otoczenie soczewki oraz jej geometrie przy liczeniu ogniskowej. W związku z tym musimy skorzystać z równania materiałowego soczewki:

RÓWNANIE MATERIAŁOWE SOCZEWKI

Równanie materiałowe soczewki (równanie szlifierzy soczewek) ma postać:

$\frac{1}{f} = (\frac{n}{n _{0}} - 1) (\frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}})$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$n$ - współczynnik załamania dla soczewki,

$n_{0}$ - współczynnik załamania dla otoczenia,

$R_{1}, R_{2}$ - promienie krzywizn soczewki.

Promień krzywizny dla powierzchni wklęsłej jest ujemny. Ogniskowa soczewki przyjmuje wartość dodatnią dla soczewki skupiającej, a wartość ujemną dla soczewki rozpraszającej.

Z zadania wynika, że soczewka jest dwuwypukła i symetryczna, czyli:

$R_{1} = R_{2} = R$

gdzie:

$R$ - promień krzywizny soczewki.

W związku z tym dla naszego zadania możemy zapisać powyższe równanie w postaci:

$\frac{1}{f} = (\frac{n}{n _{0}} - 1) (\frac{1}{R} + \frac{1}{R})$

$\frac{1}{f} = \frac{2}{R} (\frac{n}{n _{0}} - 1)$

Żeby obliczyć ogniskową soczewki w wodzie, musimy najpierw wyznaczyć promień krzywizny soczewki. W tym celu zapisujemy równanie materiałowe soczewki w sytuacji, gdy znajduje się ona w powietrzu - wówczas znamy wartość ogniskowej. Zapisujemy:

$\frac{1}{f _{p}} = \frac{2}{R} (\frac{n _{s}}{n _{p}} - 1)$

gdzie:

$f_{p}$ - ogniskowa soczewki w powietrzu,

$n_{s}$ - współczynnik załamania szkła,

$n_{p}$ - współczynnik załamania powietrza.

Wiemy, że współczynnik załamania powietrza wynosi jeden, więc dla uproszczenia późniejszych przekształceń podstawimy jego wartość do powyższego wzoru:

$\frac{1}{f _{p}} = \frac{2}{R} (\frac{n _{s}}{1} - 1)$

$\frac{1}{f _{p}} = \frac{2}{R} (n_{s} - 1)$

Przekształcamy powyższe równanie tak, aby otrzymać wzór na promień krzywizny soczewki:

$\frac{1}{f _{p}} = \frac{2}{R} (n_{s} - 1) ∣ \cdot R$

$\frac{R}{f _{p}} = 2 (n_{s} - 1) ∣ \cdot f_{p}$

$R = 2 f_{p} (n_{s} - 1)$

Gdy soczewka znajduje się w wodzie równanie materiałowe soczewki ma postać:

$\frac{1}{f _{w}} = \frac{2}{R} (\frac{n _{s}}{n _{w}} - 1)$

gdzie:

$f_{w}$ - ogniskowa soczewki w wodzie,

$n_{w}$ - współczynnik załamania wody.

Chcemy wyznaczyć ogniskową soczewki w wodzie, więc przekształcamy powyższe równanie:

$\frac{1}{f _{w}} = \frac{2}{R} (\frac{n _{s}}{n _{w}} - 1) ∣ : \frac{2}{R} (\frac{n _{s}}{n _{2}} - 1)$

$\frac{1}{f _{w}} \frac{1}{\frac{2}{R} ( \frac{n _{s}}{n _{w}} - 1 )} = 1 ∣ \cdot f_{w}$

$\frac{R}{2 ( \frac{n _{s}}{n _{w}} - 1 )} = f_{w}$

$f_{w} = \frac{R}{2 ( \frac{n _{s}}{n _{w}} - 1 )}$

Podstawiamy do powyższego otrzymane przez nas wcześniej równanie na promień krzywizny soczewki:

$f_{w} = \frac{2 f _{p} ( n _{s} - 1 )}{2 ( \frac{n _{s}}{n _{w}} - 1 )}$

$f_{w} = f_{p} \frac{n _{s} - 1}{\frac{n _{s}}{n _{w}} - 1}$

Podstawiamy wartości liczbowe:

$f_{w} = 0, 075 m \frac{\frac{3}{2} - 1}{\frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{3}} - 1} = 0, 075 m \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} - 1} =$

$f_{w} = 0, 075 m \frac{\frac{1}{2}}{\frac{9}{8} - 1} = 0, 075 m \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}} =$

$f_{w} = 0, 075 m \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{1} = 0, 075 m \cdot 4 =$

$f_{w} = 0, 3 m = 30 cm$

Odpowiedź: Ogniskowa soczewki w wodzie wynosi $30 cm$ .

$2 .$

Uzasadnienie:

Naszym celem jest skonstruowanie powiększonego obrazu. Wiemy, że obraz rzeczywisty i powiększony otrzymamy, jeżeli odległość ślimaka od soczewki będzie większa od długości ogniskowej tej soczewki. Wiemy, że długość pomiędzy ślimakiem (przedmiotem) i jego obrazem wynosi:

$l = x + y$

gdzie:

$l$ - długość akwarium,

$x$ - odległość ślimaka od soczewki,

$y$ - odległość obrazu od soczewki.

Wiemy, że te odległości muszą również spełniać również równanie soczewki:

RÓWNANIE SOCZEWKI

Równanie soczewki opisuje zależności pomiędzy odległościami przedmiotu i obrazu od soczewki a długością ogniskowej. Ma ono postać:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

gdzie:

$f$ - ogniskowa soczewki,

$x$ - odległość przedmiotu od soczewki,

$y$ - odległość obrazu od soczewki.

Otrzymujemy wówczas układ równań:

${l = x + y \frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

Podstawmy dane liczbowe do układu równań z pominięciem jednostek (centymetrów)

${125 = x + y \frac{1}{30} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

${x + y = 125 \frac{1}{30} = \frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}$

${x + y = 125 \frac{1}{30} = \frac{x + y}{x y}$

${x + y = 125 ∣ - x \frac{1}{30} = \frac{125}{x y}$

${y = 125 - x x y = 125 \cdot 30$

${y = 125 - x x (125 - x) = 125 \cdot 30$

W jednym z równań otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Rozwiążmy je teraz:

$x (125 - x) = 3750$

$125 x - x^{2} = 3750 ∣ - 3750$

$- x^{2} + 125 x - 3750 = 0 ∣ \cdot (- 1)$

$x^{2} - 125 x + 3750 = 0$

Obliczamy deltę tego równania:

$Δ = (- 125)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3750$

$Δ = 15625 - 15000$

$Δ = 625$

Pierwiastek z delty wynosi:

$Δ = 625$

$Δ = 25$

Ponieważ delta jest dodatnia, to otrzymujemy dwa rozwiązania:

$x_{1} = \frac{- ( - 125 ) - 25}{2 \cdot 1} = \frac{125 - 25}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_{2} = \frac{- ( - 125 ) + 25}{2 \cdot 1} = \frac{125 + 25}{2} = \frac{150}{2} = 75$

Z tego wynika, że:

${x_{1} = 50 c m y_{1} = 125 c m - x_{1} \lor {x_{2} = 75 c m y_{2} = 125 c m - x_{2}$

${x_{1} = 50 c m y_{1} = 125 c m - 50 c m \lor {x_{2} = 75 c m y_{2} = 125 c m - 75 c m$

${x_{1} = 50 c m y_{1} = 75 c m \lor {x_{2} = 75 c m y_{2} = 50 c m$

Powstały obraz powinien być rzeczywisty i powiększony, dlatego odległość przedmiotu od soczewki spełniać powinna warunek:

$f < x < 2 f$

Zatem odpowiedzią jest:

${x = 50 c m y = 75 c m$

Korzystając z tych informacji możemy wykonać rysunek.

Odpowiedź:

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.