Dane:

$v_p=40\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$  

Szukane:

$t=?$  

Rozwiązanie:

Wiemy, że droga hamowania jest równa drodze pokonanej przez samochód w czasie pierwszych 50 s ruchu. Ruch samochodu w tym czasie możemy podzielić na trzy etapy. Wówczas całkowita droga, którą pokona będzie równa sumie dróg pokonanych na poszczególnych etapach:

$s=s_1+s_2+s_3$

gdzie:

$s$ - droga pokonana przez samochód w czasie 50 s ruchu, równa drodze hamowania,

$s_1,s_2,s_3$ - drogi pokonane na poszczególnych etapach ruchu.

Droga, jaką pokona samochód będzie równa polu pod wykresem zależności szybkości od czasu. Podzielmy pole pod wykresem na trzy mniejsze pola:

 

Obliczymy pola poszczególnych figur. Pierwsze pole ma kształt prostokąta, więc obliczymy je przy użyciu wzoru:

$P_1=a_1{b}_1$

gdzie:

$P_1$ - pole prostokąta,

$a_1$ - długość jednego boku prostokąta,

$b{}_1$ - długość drugiego boku prostokąta.

Korzystając z wykresu możemy odczytać:

$a_1=20\mathrm{s}$

$b_1=20\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Pole to jest równe drodze pokonanej w pierwszym etapie, dlatego możemy zapisać:

$s_1=20\cancel{\mathrm{s}}\cdot 20\frac{\mathrm{m}}{\cancel{\mathrm{s}}}=400\mathrm{m}$

Drugie pole ma kształt trapezu, więc obliczymy je przy użyciu wzoru:

$P_2=\frac{\left(a_2+b_2\right)h_2}{2}$

gdzie:

$P_2$ - pole trapezu,

$a_2,b_2$ - długości podstaw,

$h_2$ - wysokość trapezu.

Korzystając z wykresu możemy odczytać:

$a_2=20\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$b_2=40\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

$h_2=20\mathrm{s}$

Pole to jest równe drodze pokonanej w drugim etapie, dlatego możemy zapisać:

$s_2=\frac{\left(20\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}+40\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)\cdot 20\mathrm{s}}{2}=\frac{60\frac{\mathrm{m}}{\cancel{\mathrm{s}}}\cdot 20\cancel{\mathrm{s}}}{2}=600\mathrm{m}$

Trzecie pole ma kształt prostokąta, więc obliczymy je przy użyciu wzoru:

$P_3=a_3{b}_3$

gdzie:

$P_3$ - pole prostokąta,

$a_3$ - długość jednego boku prostokąta,

$b{}_3$ - długość drugiego boku prostokąta.

Korzystając z wykresu możemy odczytać:

$a_3=10\mathrm{s}$

$b_3=40\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Pole to jest równe drodze pokonanej w trzecim etapie, dlatego możemy zapisać:

$s_3=10\cancel{\mathrm{s}}\cdot 40\frac{\mathrm{m}}{\cancel{\mathrm{s}}}=400\mathrm{m}$

Korzystając z powyższych wyników obliczamy całkowitą drogę pokonaną przez samochód:

$s=s_1+s_2+s_3$

$s=400\mathrm{m}+600\mathrm{m}+400\mathrm{m}=1400\mathrm{m}$

Od pięćdziesiątej sekundy samochód porusza się ruchem jednostajnie opóźnionym, aż do zatrzymania. Szybkość ciała w ruchu jednostajnie opóźnionym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$v_k=v_p-at$  

gdzie:

$v_k$ - szybkość końcowa samochodu,

$v_p$ - szybkość początkowa,

$a$ - wartość opóźnienia,

$t$ - czas trwania ruchu.

Wówczas uwzględniając, że szybkość końcowa jest zerowa, wartość opóźnienia, z jakim będzie poruszał się samochód będzie miała postać:

$0=v_p-at\mid +at$  

$at=v_p\mid :t$  

$a=\frac{v_p}{t}$  

Drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym przedstawiamy za pomocą wzoru:

$s=v_{p}t-\frac{1}{2}a{t}^2$  

Podstawiamy wzór na wartość opóźnienia i wyznaczamy wzór na czas:

$s=v_{p}t-\frac{1}{2}a{t}^2$  

$s=v_{p}t-\frac{1}{2}\cdot \frac{v_p}{t}\cdot t^2$  

$s=v_{p}t-\frac{1}{2}{v}_{p}t$  

$s=\frac{1}{2}{v}_{p}t|\cdot 2$  

$2s=v_{p}t|:v_p$

$t=\frac{2s}{v_p}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$t=\frac{2\cdot 1400\mathrm{m}}{40\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\frac{}{}}=\frac{2800\mathrm{m}}{40\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\frac{}{}}=70\mathrm{s}$  

Odpowiedź: Samochód zatrzyma się po czasie 70 s.