Dane:

$R=2\text{cm}=0,02\text{m}$  

$r=1\text{cm}=0,1\text{m}$  

 

$1.$   

Szukane:

$\frac{\Delta E}{E_{k1}}=?$

Rozwiązanie:

Celem tego zadania jest wyznaczenie względnej zmiany energii kinetycznej. Aby to zrobić najpierw musimy wyznaczyć wartość prędkości, z jaką porusza się cząstka. Ponieważ cząstka porusza się w stałym jednorodnym polu magnetycznym, prostopadle do linii tego pola, to działająca na nią siła Lorentza będzie pełniła rolę siły dośrodkowej.

Siła Lorentza jest siłą magnetyczną działającą na naładowaną cząstkę, a jej wartość jest dana wzorem:

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot \sin \alpha$  

gdzie:

$F_L$ - siła Lorentza,

$v$ - wartość prędkości liniowej, z jaką porusza się ładunek,

$q$ - ładunek cząstki,

$B$ - wartość indukcji magnetycznej,

$\alpha$ - kąt między wektorem prędkości a wektorem indukcji magnetycznej.

Zauważmy, że wektor indukcji magnetycznej jest prostopadły do wektora prędkości, z jaką porusza się cząstka. Z tego wynika, że wartość siły Lorentza działającej na cząstkę jest dana wzorem: 

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot \sin {90}^{\circ }$  

$F_L=q\cdot v\cdot B\cdot 1$  

$F_L=q\cdot v\cdot B$  

Wartość siły dośrodkowej przedstawiamy za pomocą wzoru:

$F_d=\frac{m{v}^2}{r}$  

gdzie:

$F_d$ - wartość siły dośrodkowej,

$m$ - masa cząstki,

$v$ - wartość prędkości cząstki,

$r$ - promień okręgu, po jakim porusza się cząstka.

Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej, dlatego możemy porównać wzory na wartości tych sił:

$F_d=F_L$  

$\frac{m{v}^2}{r}=qvB\mid :v$  

$\frac{mv}{r}=qB\mid \cdot r$  

$mv=rqB\mid :m$  

$v=\frac{rqB}{m}$  

Ponieważ cząstka porusza się z prędkością znacznie mniejszą niż prędkość światła, to pomijamy efekty relatywistyczne. Zmiana energii kinetycznej cząstki po przejściu przez ołowianą płytkę, będzie różnicą energii kinetycznej cząstki przed przejściem przez tę płytkę oraz po przejściu przez tę płytkę:

$\Delta E=E_{k1}-E_{k2}$  

gdzie:

$E_{k1}$ - energia kinetyczna cząstki przed przejściem przez płytkę,

$E_{k2}$ - energia kinetyczna cząstki po przejściu przez płytkę.

Energię kinetyczną ciała przedstawiamy za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{m{v}^2}{2}$  

gdzie:

$E_k$ - energia kinetyczna ciała,

$m$ - masa ciała,

$v$ - szybkość ciała.

Z tego wynika, że energia kinetyczna cząstki przed przejściem przez ołowianą płytkę ma postać:

$E_{k1}=\frac{m{v}_1^2}{2}$  

Podstawiając otrzymany wcześniej wzór na prędkość:

$E_{k1}=\frac{m{\left(\frac{RqB}{m}\right)}^2}{2}$  

$E_{k1}=\frac{m\frac{R^2{q}^2{B}^2}{m^2}}{2}$  

$E_{k1}=\frac{R^2{q}^2{B}^2}{2m}$  

Natomiast energia kinetyczna cząstki po przejściu przez ołowianą płytę będzie miała postać:

$E_{k2}=\frac{m{v}_2^2}{2}$  

$E_{k2}=\frac{m{\left(\frac{rqB}{m}\right)}^2}{2}$  

$E_{k2}=\frac{m\frac{r^2{q}^2{B}^2}{m^2}}{2}$  

$E_{k2}=\frac{r^2{q}^2{B}^2}{2m}$  

Wówczas zmiana tej energii będzie miała postać:

$\Delta E=E_{k1}-E_{k2}$  

$\Delta E=\frac{R^2{q}^2{B}^2}{2m}-\frac{r^2{q}^2{B}^2}{2m}$  

$\Delta E=\frac{q^2{B}^2}{2m}\cdot \left(R^2-r^2\right)$  

Wówczas względna zmiana energii kinetycznej będzie wynosiła:

$\frac{\Delta E}{E_{k1}}=\frac{\frac{q^2{B}^2}{2m}\cdot \left(R^2-r^2\right)}{\frac{R^2{q}^2{B}^2}{2m}}$  

$\frac{\Delta E}{E_{k1}}=\frac{\frac{q^2{B}^2}{2m}\cdot \left(R^2-r^2\right)}{\frac{q^2{B}^2}{2m}\cdot R^2}$  

$\frac{\Delta E}{E_{k1}}=\frac{R^2-r^2}{R^2}$  

$\frac{\Delta E}{E_{k1}}=\frac{{\left(2\text{cm}\right)}^2-{\left(1\text{cm}\right)}^2}{{\left(2\text{cm}\right)}^2}$  

$\frac{\Delta E}{E_{k1}}=\frac{4{\text{cm}}^2-1{\text{cm}}^2}{4{\text{cm}}^2}$  

$\frac{\Delta E}{E_{k1}}=\frac{3{\text{cm}}^2}{4{\text{cm}}^2}$  

$\frac{\Delta E}{E_{k1}}=0,75$  

Odpowiedź: Względna zmiana energii kinetycznej wynosi 75 %.

 

$2.$

Dane:

$B=1\text{T}$ 

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ masy spoczynkowej protonu: $m_p=1,67\cdot {10}^{-27}\text{kg}$

▶ wartość ładunku elementarnego: $e=1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}$

▶ zależność pomiędzy jednostkami energii: $1\text{J}=6,24\cdot {10}^{18}\text{eV}$

Szukane:

$E_{k1}=?$

$E_{k2}=?$

Rozwiązanie:

Celem tego zadania jest wyznaczenie energii kinetycznej protonu przed i po przejściu przez płytkę i wyrażenie jej w eV. W tym zadaniu możemy skorzystać ze wzorów na energię kinetyczną wyznaczonych w poprzednim zadaniu. Za wartość ładunku podstawiamy wartość ładunku elementarnego, ponieważ ma on taką samą wartość jak ładunek protonu, a masę jako masę spoczynkową protonu. Po uwzględnieniu tych stałych możemy zapisać:

$E_{k1}=\frac{R^2{e}^2{B}^2}{2m_p}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{k1}=\frac{{\left(0,02\text{m}\right)}^2\cdot {\left(1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}\right)}^2\cdot {\left(1\text{T}\right)}^2}{2\cdot 1,67\cdot {10}^{-27}\text{kg}}=$  

$=\frac{0,0004{\text{m}}^2\cdot 2,56\cdot {10}^{-38}{\text{C}}^2\cdot 1{\text{T}}^2}{3,34\cdot {10}^{-27}\text{kg}}=$  

$=\frac{0,0004{\text{m}}^2\cdot 2,56\cdot {10}^{-38}{\text{C}}^2\cdot 1\frac{{\text{N}}^2\cdot {\text{s}}^2}{{\text{C}}^2\cdot {\text{m}}^2}}{3,34\cdot {10}^{-27}\text{kg}}=$  

$=\frac{0,001024\cdot {10}^{-38}{\text{N}}^2\cdot {\text{s}}^2}{3,34\cdot {10}^{-27}\text{kg}}=$  

$=\frac{10,24\cdot {10}^{-42}{\text{kg}}^2\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^4}\cdot {\text{s}}^2}{3,34\cdot {10}^{-27}\text{kg}}\approx$  

$\approx 3,06587\cdot {10}^{-15}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$  

$=3,06587\cdot {10}^{-15}\text{J}=$

$=3,06587\cdot {10}^{-15}\cdot 6,24\cdot {10}^{18}\text{eV}=$  

$=19,1310288\cdot {10}^3\text{eV}\approx$

$\approx 19\cdot {10}^3\text{eV}=19\text{keV}$  

$E_{k2}=\frac{r^2{e}^2{B}^2}{2m_p}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$E_{k2}=\frac{{\left(0,01\text{m}\right)}^2\cdot {\left(1,6\cdot {10}^{-19}\text{C}\right)}^2\cdot {\left(1\text{T}\right)}^2}{2\cdot 1,67\cdot {10}^{-27}\text{kg}}=$  

$=\frac{0,0001{\text{m}}^2\cdot 2,56\cdot {10}^{-38}{\text{C}}^2\cdot 1{\text{T}}^2}{3,34\cdot {10}^{-27}\text{kg}}=$  

$=\frac{0,0001{\text{m}}^2\cdot 2,56\cdot {10}^{-38}{\text{C}}^2\cdot 1\frac{{\text{N}}^2\cdot {\text{s}}^2}{{\text{C}}^2\cdot {\text{m}}^2}}{3,34\cdot {10}^{-27}\text{kg}}=$  

$=\frac{0,000256\cdot {10}^{-38}{\text{N}}^2\cdot {\text{s}}^2}{3,34\cdot {10}^{-27}\text{kg}}=$  

$=\frac{2,56\cdot {10}^{-42}{\text{kg}}^2\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^4}\cdot {\text{s}}^2}{3,34\cdot {10}^{-27}\text{kg}}\approx$  

$\approx 0,766\cdot {10}^{-15}\text{kg}\cdot \frac{{\text{m}}^2}{{\text{s}}^2}=$  

$=0,766\cdot {10}^{-15}\text{J}=$

$=0,766\cdot {10}^{-15}\cdot 6,24\cdot {10}^{18}\text{eV}=$  

$=4,77984\cdot {10}^3\text{eV}\approx$

$\approx 4,8\cdot {10}^3\text{eV}=4,8\text{keV}$

Odpowiedź: Energia protonu przed przejściem przez płytkę wynosi 19 keV, a po 4,8 keV.