$\text{Dane:}$  

${\text{m}}_1={\text{m}}_1=\text{m}=1\text{kg}$  

$\text{d}=1\text{m}$  

$\text{Szukane:}$  

${\gamma }_{\text{p1}},{\gamma }_{\text{p2}},{\text{V}}_{\text{p1}},{\text{V}}_{\text{p2}}=\text{?}$  

$\text{Rozwiązanie:}$  

Natężenie pola grawitacyjnego w punkcie 1 wynosi:

${\gamma }_{\text{p1}}={\gamma }_1-{\gamma }_2$  

${\gamma }_{\text{p1}}=\frac{\text{Gm}}{{\left(\frac{\text{d}}{2}\right)}^2}-\frac{\text{Gm}}{{\left(\frac{\text{d}}{2}\right)}^2}$  

${\gamma }_{\text{p1}}=0$  

Potencjał pola wytworzony przez kulkę 1 wynosi:

${\text{V}}_1=-\frac{\text{Gm}}{\frac{\text{d}}{2}}$  

${\text{V}}_1=-\frac{\text{2Gm}}{\text{d}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\text{V}}_1=-\frac{2\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 1\text{kg}}{1\text{m}}=-\frac{13,34\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{\text{kg}}}{1\text{m}}=$  

$=-13,34\cdot {10}^{-11}\frac{\text{Nm}}{\text{kg}}=-1,334\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}$   

A przez kulkę 2:

${\text{V}}_2=-\frac{\text{Gm}}{\frac{\text{d}}{2}}=-\frac{\text{2Gm}}{\text{d}}={\text{V}}_1$  

${\text{V}}_2=-1,334\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}$   

Potencjał to wielkość skalarna, więc potencjał w punkcie 1 jest sumą potencjałów obu kulek i wynosi:

${\text{V}}_{\text{p1}}={\text{V}}_1+{\text{V}}_2=-1,334\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}-\left(-1,334\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}\right)$   

${\text{V}}_{\text{p1}}=-2,668\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}$   

Natężenie pola grawitacyjnego w punkcie 2 wynosi:

${\gamma }_{\text{p2}}={\gamma }_1+{\gamma }_2$   

${\gamma }_{\text{p2}}=\frac{\text{Gm}}{{\left(3\cdot \frac{\text{d}}{2}\right)}^2}+\frac{\text{Gm}}{{\left(\frac{\text{d}}{2}\right)}^2}$   

${\gamma }_{\text{p2}}=\text{Gm}\cdot \left(\frac{1}{{\left(\frac{3}{2}\text{d}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\text{d}\right)}^2}\right)$   

${\gamma }_{\text{p2}}=\text{Gm}\cdot \left(\frac{1}{\frac{9}{4}{\text{d}}^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}{\text{d}}^2}\right)$   

${\gamma }_{\text{p2}}=\text{Gm}\cdot \left(\frac{4}{9{\text{d}}^2}+\frac{4}{{\text{d}}^2}\right)$   

${\gamma }_{\text{p2}}=\text{Gm}\cdot \left(\frac{4}{9{\text{d}}^2}+\frac{36}{9{\text{d}}^2}\right)$   

${\gamma }_{\text{p2}}=\frac{40\text{Gm}}{9{\text{d}}^2}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

${\gamma }_{\text{p2}}=\frac{40\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 1\text{kg}}{9\cdot {\left(1\text{m}\right)}^2}=\frac{266,8\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{\text{kg}}}{9\cdot 1{\text{m}}^2}=$  

$=\frac{266,8\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{\text{kg}}}{9{\text{m}}^2}\approx 29,64\cdot {10}^{-11}\frac{\text{N}}{\text{kg}}$  

Potencjał pola wytworzony przez kulkę 1 wynosi:

${\text{V}}_1=-\frac{\text{Gm}}{3\cdot \frac{\text{d}}{2}}$  

${\text{V}}_1=-\frac{\text{2Gm}}{\text{3d}}$  

Wstawiamy dane liczbowe i obliczamy:

${\text{V}}_1=-\frac{2\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 1\text{kg}}{3\cdot 1\text{m}}=-\frac{13,34\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{\text{kg}}}{3\text{m}}\approx$  

$\approx -4,446667\cdot {10}^{-11}\frac{\text{Nm}}{\text{kg}}\approx -4,4\cdot {10}^{-11}\frac{\text{J}}{\text{kg}}$  

A pole wytworzone przez drugą kulkę:

${\text{V}}_2=-\frac{\text{Gm}}{\frac{\text{d}}{2}}$  

${\text{V}}_2=-\frac{\text{2Gm}}{\text{d}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\text{V}}_2=-\frac{2\cdot 6,67\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{{\text{kg}}^2}\cdot 1\text{kg}}{1\text{m}}=-\frac{13,34\cdot {10}^{-11}\frac{{\text{Nm}}^2}{\text{kg}}}{1\text{m}}=$   

$=-13,34\cdot {10}^{-11}\frac{\text{Nm}}{\text{kg}}=-1,334\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}$   

Potencjał to wielkość skalarna, więc potencjał w punkcie 1 jest sumą potencjałów obu kulek i wynosi:

${\text{V}}_{\text{p2}}={\text{V}}_1+{\text{V}}_2$  

${\text{V}}_{\text{p2}}=-4,4\cdot {10}^{-11}\frac{\text{J}}{\text{kg}}+\left(-1,334\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}\right)=-4,4\cdot {10}^{-11}\frac{\text{J}}{\text{kg}}-1,334\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}=$  

$=-0,44\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}-1,334\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}=-1,7786\cdot {10}^{-10}\frac{\text{J}}{\text{kg}}$