$\text{3.1.}$  

Korzystając z prawa Coulomba wiemy, że wartość siły oddziaływania pomiędzy naładowanymi ciałami możemy obliczyć za pomocą wzoru:

$F_C=\frac{k\left|q_1{q}_2\right|}{r^2}$  

gdzie:

$k=9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$ - współczynnik proporcjonalności,

$q_1$  i $q_2$  - wartości ładunków ciał oddziałujących ze sobą,

$r$  - odległość pomiędzy oddziałującymi ze sobą ciałami.

Wiemy, że wartość ładunku protonu i bezwzględna wartość ładunku elektronu odpowiadają wartości ładunku elementarnego $e$ . 

Siła przyciągania elektrycznego między elektronem i protonem dla pierwszej orbity będzie miała postać:

$F_1=\frac{ke\cdot e}{r_1^2}$  

$F_1=\frac{k{e}^2}{r_1^2}$  

Siła przyciągania elektrycznego między elektronem i protonem dla drugiej orbity będzie miała postać:

$F_2=\frac{ke\cdot e}{r_2^2}$  

$F_2=\frac{k{e}^2}{r_2^2}$  

Promień dowolnej orbity elektronu w atomie wodoru z promieniem pierwszej orbity będzie miał postać:

$r_n=n^2{r}_1$  

gdzie:

$n$  - numer orbity,

$r_1$  - promień pierwszej orbity.

Wówczas:

$r_2=2^2\cdot r_1$  

$r_2=4r_1$  

Wówczas porównując siły otrzymujemy: 

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{\frac{k{e}^2}{r_1^2}}{\frac{k{e}^2}{r_2^2}}$  

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{k{e}^2}{r_1^2}\cdot \frac{r_2^2}{k{e}^2}$  

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}$  

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{{\left(4r_1\right)}^2}{r_1^2}$  

$\frac{F_1}{F_2}=\frac{16r_1^2}{r_1^2}$  

$\frac{F_1}{F_2}=16$  

Siła przyciągania elektrycznego na pierwszej orbicie jest 16 razy większa od siły na drugiej orbicie.

 

$\text{3.2.}$  

 Uzasadnienie: 

A. Energia całkowita elektronu

Wiemy, że energia jest wypromieniowywana przy przeskoku elektronu z orbity wyższej na niższą, a pochłaniana przy przeskoku z orbity niższej na wyższą. W naszym przypadku elektron wraca na pierwszą orbitę, czyli energia jest wypromieniowana, czyli całkowita energia elektronu maleje. 

B. Energia kinetyczna elektronu

Energia kinetyczna jest wprost proporcjonalna do prędkości. Prędkość elektronu na poszczególnej orbicie przedstawiamy wzorem:

$v_n=\frac{v_1}{n}$  

gdzie:

$v_1$  - wartość prędkości elektronu na pierwszej orbicie,

$n$  - numer orbity.

Prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do numeru orbity. Numer orbity maleje, czyli prędkość będzie rosła, co za tym idzie energia kinetyczna elektronu również będzie wzrastać. 

C. Energia potencjalna elektronu

Energię potencjalną układu dwóch oddziałujących ze sobą ładunków w polu elektrostatycznym przedstawiamy wzorem:

$E_{\text{pot}}=\frac{k{q}_1{q}_2}{r}$  

gdzie:

$k=9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$ - współczynnik proporcjonalności,

$q_1$  i $q_2$  - wartości ładunków,

$r$  - odległość pomiędzy ładunkami.

Zauważmy, że energia potencjalna jest odwrotnie proporcjonalna do odległości. W naszym przypadku elektron ma ładunek ujemny. Otrzymujemy zatem, że:

$E_{\text{pot}}=\frac{ke\cdot \left(-e\right)}{r}$  

$E_{\text{pot}}=-\frac{k{e}^2}{r}$  

Wówczas im mniejsza będzie odległość elektronu od jądra tym mniejsza będzie jego energia potencjalna.

D. Pęd elektronu

Pęd jest wprost proporcjonalny do prędkości. Ponieważ prędkość rośnie, wówczas pęd elektronu również rośnie.  

E. Moment pędu elektronu  

Moment pędu elektronu możemy przedstawiać wzorem:

$L=\frac{nh}{2\pi }$   

gdzie:

$n$  - numer orbity,

$h$  - stała Plancka.

Zauważmy, że moment pędu jest wprost proporcjonalny do numeru orbity. Ponieważ numer orbity maleje, to moment pędu również będzie malał.

 Uzupełniamy tabelę: 

	Wielkość fizyczna
rośnie	B, D
maleje	A, C, E
nie zmienia się

 

$\text{3.3.}$  

Energia jonizacji elektronu wynosi:

$E_0=13,6\text{eV}$  

W atomie wodoru dozwolone wartości energii oblicza się ze wzoru:

$E_n=-\frac{E_0}{n^2}$  

gdzie:

$E_0=13,6\text{eV}$  - bezwzględna wartość energii na pierwszej orbicie (odpowiada energii jonizacji), 

$n$  - numer orbity lub poziomu energetycznego (zawsze liczba naturalna). 

Wówczas energia jonizacji elektronu na czwartej orbicie ma energię:

$E_4=-\frac{13,6\text{eV}}{4^2}$  

$E_4=-\frac{13,6\text{eV}}{16}$  

$E_4=-0,85\text{eV}$  

Wówczas energia jaką należy dostarczyć elektronowi wynosi:

$E=0,85\text{eV}$  

 

$\text{3.4.}$   

Wartość natężenia pola elektrostatycznego w danym punkcie wyznaczamy korzystając z wzoru:

$E=\frac{kQ}{r^2}$  

gdzie:

$k=9\cdot {10}^9\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{C}}^2}$  - współczynniki proporcjonalności,

$Q$ - wartość ładunku wytwarzającego pole,

$r$ - odległość punktu, w którym badamy natężenie od tego ładunku.

Wówczas dla elektronu na pierwszej orbicie natężenie pola będzie miało postać:

$E_1=\frac{kQ}{r_1^2}$  

Natężenie pola elektrycznego na czwartej orbicie będzie miało postać:

$E_4=\frac{kQ}{r_2^2}$  

Promień czwartej orbity będzie miał postać:

$r_4=4^2\cdot r_1$  

$r_4=16r_1$  

Wówczas stosunek natężenia pola elektrostatycznego na pierwszej orbicie do natężenia pola na czwartej orbicie będzie miał postać:

$\frac{E_1}{E_2}=\frac{\frac{kQ}{r_1^2}}{\frac{kQ}{r_2^2}}$  

$\frac{E_1}{E_2}=\frac{kQ}{r_1^2}\cdot \frac{r_2^2}{kQ}$  

$\frac{E_1}{E_2}=\frac{r_2^2}{r_1^2}$  

$\frac{E_1}{E_2}=\frac{{\left(16r_1\right)}^2}{r_1^2}$  

$\frac{E_1}{E_2}=\frac{256r_1^2}{r_1^2}$  

$\frac{E_1}{E_2}=256$  

Z tego wynika, że natężenie pola elektrostatycznego na pierwszej orbicie jest 256 razy większe od natężenia pola elektrycznego na czwartej orbicie.