$\text{a)}$  

Korzystając z prawa załamania (prawo Snella) wiemy, że stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest dla dwóch danych ośrodków wielkością stałą, równą stosunkowi szybkości światła w tych ośrodkach i zwaną względnym współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego:

$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$  

gdzie:

$\alpha$   - kąt padania,

$\beta$   - kąt załamania,

$v_1$  - szybkość światła w ośrodku padania,

$v_2$  - szybkość światła, w ośrodku, w którym światło ulega załamaniu,

$n_1$   - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło pada,

$n_2$   - współczynnik załamania światła ośrodka, w którym światło się załamuje. 

Światło pada na granicę powietrza i cieczy pod podanym kątem, czyli:

$\alpha ={30}^{\circ }$  

$n_1=1$  

Wówczas kąt załamania możemy przedstawić ogólnym wzorem:

$\frac{n}{n_1}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$  

$\frac{n}{1}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }\mid \cdot \sin \beta$  

$n\sin \beta =\sin \alpha \mid :n$  

$\sin \beta =\frac{\sin \alpha }{n}$  

Współczynniki załamania odpowiadające poszczególnym temperaturom oraz kąty załamania będą wynosiły:

▶ dla $t_1={18}^{\circ }\text{C}$  odczytać możemy, że $n_1=1,46$ , czyli:

$\sin {\beta }_1=\frac{\sin \alpha }{n_1}$  

$\sin {\beta }_1=\frac{\sin {30}^{\circ }}{1,46}=\frac{0,5}{1,46}\approx 0,342$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\sin {20}^{\circ }=0,3420$  

Wówczas:

${\beta }_1\approx {20}^{\circ }$  

▶ dla $t_2={20}^{\circ }\text{C}$  odczytać możemy, że $n_2=1,35$ , czyli:

$\sin {\beta }_2=\frac{\sin \alpha }{n_2}$  

$\sin {\beta }_2=\frac{\sin {30}^{\circ }}{1,35}=\frac{0,5}{1,35}\approx 0,37$  

Korzystając z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że:

$\sin {21}^{\circ }=0,3584$  

$\sin {22}^{\circ }=0,3746$  

Zatem szukany kąt będzie większy niż 21^o, ale mniejszy niż 22^o. Oszacujmy część dziesiętną szukanego kąta.

Ponieważ $\sin {22}^{\circ }-\sin {21}^{\circ }=0,3746-0,3584=0,0162$  to:

$0,0162\sim 1^{\circ }$  

Ponieważ $\sin {\beta }_2-\sin {21}^{\circ }=0,37-0,3584=0,01197$  to:

$0,0116\sim x$  

Z tego wynika, że:

$x=\frac{0,0116}{0,0162}\cdot 1^{\circ }\approx 0,716\cdot 1^{\circ }=0,716\cdot 60{}^{\prime }=42,96{}^{\prime }\approx 40{}^{\prime }$  

Oznacza to, że miara szukanego kąta wynosi:

${\beta }_2={21}^{\circ }40{}^{\prime }$  

Zmiana kąta załamania będzie wynosiła:

$\Delta \beta ={\beta }_2-{\beta }_1$  

$\Delta \beta ={21}^{\circ }40{}^{\prime }-{20}^{\circ }$  

$\Delta \beta =1^{\circ }40{}^{\prime }$  

Odpowiedź: Kąt załamania wzrośnie o około 1º40'.

 

$\text{b)}$  

Szukamy dla jakiej temperatury:

$\beta ={22}^{\circ }$          

Wiemy, że:

$n=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$n=\frac{\sin {30}^{\circ }}{\sin {22}^{\circ }}=\frac{0,5}{0,3746}\approx 1,33$  

Odczytując z tabeli widzimy, że ten współczynnik załamania mamy, dla temperatury:

$t={21}^{\circ }C$     

Odpowiedź: Temperatura cieczy wynosi około 21ºC.