Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$r=1mm=1\cdot {10}^{-3}m$  

$\rho ={10}^{-7}\Omega \cdot m$  

$R=3cm=0,03m$  

Korzystając z wykresu dodanego do zadania odczytujemy, że:

$t_0=0s\text{ i }{B}_0=0T$  

$t_1=0s\text{ i }{B}_1=0T$  

$t_2=0s\text{ i }{B}_2=0T$  

$t_3=0s\text{ i }{B}_3=0T$  

 

$1.1.$  

Korzystając z prawa indukcji elektromagnetycznej Faradaya otrzymujemy wzór:

$\mathcal{E}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$ $\mathcal{E}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$  

gdzie ε jest siłą elektromotoryczną powstającą w pętli, ΔΦ jest zmianą strumienia indukcji magnetycznej, Δt jest zmianą czasu. Strumień wektora indukcji magnetycznej przedstawiamy wzorem:

$\Phi =BS$  

gdzie Φ jest strumieniem wektora indukcji magnetycznej B przechodzącego przez dowolna powierzchnię S. Powierzchnia przez jaką przechodzi strumień jest polem koła o promieniu R, dlatego możemy zapisać, że:

$S=\pi R^2$   

Wartość wektora strumienia magnetycznej dla poszczególnych punktów wykresu przedstawiamy wzorami:

$\text{dla }{B}_0=0T\text{ i }{t}_0=1s\text{mamy: }{\Phi }_0=B_{0}S\Rightarrow {\Phi }_0=\pi R^2{B}_0$  

$\text{dla }{B}_1=0T\text{ i }{t}_1=1s\text{mamy: }{\Phi }_1=B_{1}S\Rightarrow {\Phi }_1=\pi R^2{B}_1$  

$\text{dla }{B}_2=0T\text{ i }{t}_2=1s\text{mamy: }{\Phi }_2=B_{2}S\Rightarrow {\Phi }_2=\pi R^2{B}_2$  

$\text{dla }{B}_3=0T\text{ i }{t}_3=1s\text{mamy: }{\Phi }_3=B_{3}S\Rightarrow {\Phi }_3=\pi R^2{B}_3$  

Wówczas siła elektromotoryczna dla poszczególnych przedziałów czasu i indukcji magnetycznych będzie miała postać:

$\Delta t_1=t_1-t_0\text{ i }\Delta {\Phi }_1={\Phi }_1-{\Phi }_0\text{ mamy: }{\mathcal{E}}_1=-\frac{\Delta {\Phi }_1}{\Delta t_1}\Rightarrow {\mathcal{E}}_1=-\frac{{\Phi }_1-{\Phi }_0}{t_1-t_0}\Rightarrow {\mathcal{E}}_1=-\frac{\pi R^2{B}_1-\pi R^2{B}_0}{t_1-t_0}\Rightarrow {\mathcal{E}}_1=-\frac{\pi R^2\left(B_1-B_0\right)}{t_1-t_0}$   

$\Delta t_2=t_2-t_1\text{ i }\Delta {\Phi }_2={\Phi }_2-{\Phi }_1\text{ mamy: }{\mathcal{E}}_2=-\frac{\Delta {\Phi }_2}{\Delta t_2}\Rightarrow {\mathcal{E}}_2=-\frac{{\Phi }_2-{\Phi }_1}{t_2-t_1}\Rightarrow {\mathcal{E}}_2=-\frac{\pi R^2{B}_2-\pi R^2{B}_1}{t_2-t_1}\Rightarrow {\mathcal{E}}_2=-\frac{\pi R^2\left(B_2-B_1\right)}{t_2-t_1}$   

$\Delta t_3=t_3-t_2\text{ i }\Delta {\Phi }_3={\Phi }_3-{\Phi }_2\text{ mamy: }{\mathcal{E}}_3=-\frac{\Delta {\Phi }_3}{\Delta t_3}\Rightarrow {\mathcal{E}}_3=-\frac{{\Phi }_3-{\Phi }_2}{t_3-t_2}\Rightarrow {\mathcal{E}}_3=-\frac{\pi R^2{B}_3-\pi R^2{B}_2}{t_3-t_2}\Rightarrow {\mathcal{E}}_3=-\frac{\pi R^2\left(B_3-B_2\right)}{t_3-t_2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzorów:

${\mathcal{E}}_1=-\frac{3,14\cdot {\left(0,03m\right)}^2\cdot \left(0,2T-0T\right)}{1s-0s}=-\frac{3,14\cdot 0,0009m^2\cdot 0,2T}{1s}=-\frac{0,0005652m^2\cdot T}{1s}=-\frac{0,0005652m^2\cdot \frac{V\cdot s}{m^2}}{1s}=$  

$=-\frac{0,5652\cdot {10}^{-3}V\cdot s}{1s}=-0,5652\cdot {10}^{-3}V\approx -0,6mV$  

${\mathcal{E}}_2=-\frac{3,14\cdot {\left(0,03m\right)}^2\cdot \left(1T-1T\right)}{4s-1s}=\frac{3,14\cdot 0,0009m^2\cdot 0T}{3s}=0V$  

${\mathcal{E}}_3=-\frac{3,14\cdot {\left(0,03m\right)}^2\cdot \left(1T-0,2T\right)}{6s-4s}=-\frac{3,14\cdot 0,0009m^2\cdot 0,8T}{2s}=-\frac{0,0022608m^2\cdot T}{2s}=-\frac{0,0022608m^2\cdot \frac{V\cdot s}{m^2}}{2s}=$  

$=-\frac{2,2608\cdot {10}^{-3}V\cdot s}{2s}=-1,1304\cdot {10}^{-3}V\approx -1,1mV$  

Wykonajmy wykres zależności indukowanej siły od czasu:

 

$1.2.$  

Należy obliczyć natężenie prądu w przewodniku w piątej sekundzie. Z poprzedniego podpunktu otrzymujemy, że bezwzględna wartość siły elektromotorycznej w piątej sekundzie ruchu wynosi::

$\mathcal{E}=1,1mV=1,1\cdot {10}^{-3}V$  

Natężenie prądu płynącego w ramce możemy obliczyć korzystając z wzoru: 

$I=\frac{\mathcal{E}}{\mathbf{R}}$   

gdzie I jest natężeniem, ε jest siłą elektromotoryczną, R jest oporem. Opór przewodnika przedstawiamy wzorem:

$\mathbf{R}=\rho \cdot \frac{l}{S}$  

gdzie R jest oporem przewodnika o oporze właściwym ρ, długości l i polu przekroju poprzecznego S. Pole przekroju poprzecznego przewodnika jest kołem i możemy je obliczyć korzystając z wzoru:

$S=\pi r^2$  

Długość przewodnika jest obwodem okręgu, jaki powstał z tego przewodnia:

$l=2\pi R$  

Wówczas otrzymujemy, że natężenie prądu w przewodniku będzie miało postać:

$I=\frac{\mathcal{E}}{\mathbf{R}}$  

$I=\frac{\mathcal{E}}{\rho \frac{l}{S}}$  

$I=\frac{\mathcal{E}\cdot S}{\rho l}$  

$I=\frac{\mathcal{E}\pi r^2}{\rho 2\pi R}$  

$I=\frac{\mathcal{E}{r}^2}{2\rho R}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:       

$I=\frac{1,1\cdot {10}^{-3}V\cdot {\left(1\cdot {10}^{-3}m\right)}^2}{2\cdot {10}^{-7}\Omega \cdot m\cdot 0,03m}=\frac{1,1\cdot {10}^{-3}V\cdot 1\cdot {10}^{-6}{m}^2}{0,06\cdot {10}^{-7}\Omega \cdot m^2}=\frac{1,1\cdot {10}^{-9}V\cdot m^2}{6\cdot {10}^{-9}\Omega \cdot m}\approx 0,1833\frac{V}{\Omega }\approx 0,18A$  

 

$1.3.$  

W przedziale czasu (1 - 4 s) strumień indukcji magnetycznej się nie zmienia.  - PRAWDA

Zmiana strumienia indukcji magnetycznej w pierwszej sekundzie jest większa od zmiany tego strumienia w przedziale (4 - 6 s). - FAŁSZ

   

$1.4.$  

W zadaniu podane mamy wyrażenie:

$\frac{{\mu }_{0}I\Delta S}{2d\mathcal{E}}$  

gdzie:

• μ0 jest przenikalnością magnetyczną próżni (N/A²),
• I jest natężeniem prądu (A),
• ΔS jest zmianą pola powierzchni  (m²),
• d jest odległością (m),
• ε jest siłą elektrodynamiczną (V).

Wówczas otrzymujemy, że: 

$\left[\frac{{\mu }_{0}I\Delta S}{2d\mathcal{E}}\right]=\frac{\frac{N}{A^2}\cdot A\cdot m^2}{m\cdot V}=\frac{N\cdot m}{A\cdot V}=\frac{J}{A\cdot \frac{J}{As}}=\frac{J\cdot A\cdot s}{J\cdot A}=s$  

Otrzymaną jednostką jest sekunda, która służy do opisu czasu.