Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$a=8cm=0,08m$  

$b=10cm=0,1m$  

$v=2\frac{cm}{s}=0,02\frac{m}{s}$  

$B=1,5T$  

$l=30cm=0,3m$  

 

$a)$  

Strumień indukcji pola magnetycznego przedstawiamy wzorem:

$\Phi =B\cdot S\cdot \cos \alpha$  

gdzie Φ jest strumieniem indukcji magnetycznej, S jest polem powierzchni indukcji magnetycznej, B jest wartością indukcji magnetycznej, α jest kątem między wektorem indukcji, a kierunkiem prostopadłym do powierzchni. Korzystając z rysunku zauważmy, że linie pola magnetycznego są równoległe do normalnej płaszczyzny, w której znajduje się ramka.  Wówczas otrzymujemy, że wzór na strumień indukcji pola magnetycznego przyjmie postać:

$\Phi =B\cdot S\cdot \cos 0^{\circ }$   

$\Phi =B\cdot S\cdot 1$  

$\Phi =B\cdot S$

Rozważmy poszczególne przedziały czasu:

 

1. Od chwili, gdy przód ramki wejdzie w pole magnetyczne, do chwili, gdy cała ramka znajdzie się w polu magnetycznym.

Zauważmy, że, gdy przód ramki wejdzie w pole magnetyczne do chwili, aż cała ramka znajdzie się w nim, strumień indukcji magnetycznej będzie zależał od czasu, ponieważ zmieniać się będzie pole powierzchni ramki znajdującej się w polu magnetycznym. Pole powierzchni ramki przedstawimy wzorem:

$S=a\cdot b$  

gdzie a jest bokiem, który wchodzi jako pierwszy w pole, b jest bokiem długości ramki, który zmienia się czasie. Ramka porusza się ruchem jednostajnym, czyli (korzystając z wzoru na drogę w ruchu jednostajnym) możemy zauważyć, że:

$b=v\cdot t$  

gdzie v jest prędkością poruszania się ramki, t jest czasem. Otrzymujemy wówczas, że zależność strumienia indukcji magnetycznej od czasu będzie wynosiła:

${\Phi }_B\left(t\right)=B\cdot S$  

${\Phi }_B\left(t\right)=B\cdot a\cdot b$  

${\Phi }_B\left(t\right)=B\cdot a\cdot v\cdot t$  

Wyznaczmy przedziały czasu:

$t_0=0s$  

Natomiast korzystając z wzoru na drogę w ruchu jednostajnym wyznaczmy czas po jakim ramka cała weszła w pole magnetyczne:

$t_1=\frac{b}{v}\Rightarrow t_1=\frac{0,1m}{0,02\frac{m}{s}}=5s$  

Czas ruchu ramki w tym przypadku będzie wynosił:

$\Delta t_1=t_1-t_0\Rightarrow \Delta t_1=5s-0s=5s$  

 

2. Od chwili, gdy cała ramka znajdzie się w polu magnetycznym, do chwili, gdy jej przód znajdzie się na granicy pola magnetycznego.

Zauważmy, że w tym przedziale czasu cała ramka cały czas znajduje się w polu magnetycznym. Oznacza to, że powierzchnia indukcji magnetycznej nie zmienia się w zależności od czasu i stale wynosi:

$S=a\cdot b$  

Wówczas otrzymujemy, że strumień magnetyczny będzie miał postać:

${\Phi }_B\left(t\right)=B\cdot S$  

${\Phi }_B\left(t\right)=B\cdot a\cdot b$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

${\Phi }_B\left(t\right)=1,5T\cdot 0,08m\cdot 0,1m=1,5T\cdot 0,008m^2=0,012T\cdot m^2=1,2\cdot {10}^{-2}Wb$     

Rozważmy przedziały czasu, w jakich ramka całkowicie znajdowała się w polu magnetycznym. Zauważmy, że ramka cała znalazła się w  polu magnetycznym w czasie:

$t_1=5s$  

Droga, którą przebyła do momentu, aż zacznie wychodzić z pola magnetycznego wyniesie:

$s=l-b$  

Wówczas czas jej ruchu będzie wynosił:

$\Delta t_2=\frac{l-b}{v}\Rightarrow t_2=\frac{0,3m-0,1m}{0,02\frac{m}{s}}=\frac{0,2m}{0,02\frac{m}{s}}=10s$  

Oznacza to, że ramka dotrze do końca pola magnetycznego po czasie t₂ od początku ruchu:

$\Delta t_2=t_2-t_1\Rightarrow t_2=\Delta t_2+t_1$  

$t_2=10s+5s=15s$  

 

3. Od chwili, gdy przód ramki opuści pole magnetyczne, do chwili, gdy cała ramka będzie poza polem.

Ten przypadek jest bardzo podobny do pierwszego przypadku. Zauważmy, że tutaj ramka wychodzi z pola magnetycznego, czyli jej droga ruchu wynosi:

$s=b+l$  

Oznacza to, że ramka wyjdzie z pola magnetycznego po czasie t₃ od początku ruchu:

$t_3=\frac{b+l}{v}\Rightarrow t_3=\frac{0,1m+0,3m}{0,02\frac{m}{s}}=\frac{0,4m}{0,02m}=20s$   

Czas ruchu ramki w tym przypadku będzie wynosił:

$\Delta t_3=t_3-t_2\Rightarrow \Delta t_3=20s-15s=5s$  

Zauważmy, że wyjście ramki z pola magnetycznego możemy przedstawić zależnością:

$s=x+v\cdot t$   

gdzie s jest drogą jaką przebędzie ramka poruszająca się ze stałą prędkością v w czasie t do czasu osiągnięcia współrzędnej x. Możemy zatem zauważyć, że:

$x=s-v\cdot t$  

Oznacza to, że powierzchnia działania pola magnetycznego ma postać:

$S=a\cdot x$  

$S=a\cdot \left(s-v\cdot t\right)$  

$S=a\cdot \left(b+l-v\cdot t\right)$  

Wówczas otrzymujemy, że strumień indukcji magnetycznej zależny od czasu opiszemy wzorem:

${\Phi }_B\left(t\right)=B\cdot S$  

${\Phi }_B\left(t\right)=B\cdot a\cdot \left(b+l-v\cdot t\right)$  

Obliczmy wartość strumienia indukcji magnetycznej na końcu ruchu:

${\Phi }_B\left(t_3\right)=1,5T\cdot 0,08m\cdot \left(0,1m+0,3m-0,02\frac{m}{s}\cdot 20s\right)=1,5T\cdot 0,08m\cdot \left(0,4m-0,04m\right)=$  

$=1,5T\cdot 0,08m\cdot 0m=0T\cdot m^2=0Wb$       

 

 

$b)$  

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$\Delta t_1=5s,\text{ bo }{t}_0=0s,t_1=5s$  

$\Delta t_2=10s,\text{ bo }{t}_1=5s,t_2=15s$  

$\Delta t_3=5s,\text{ bo }{t}_3=20s,t_2=15s$  

Możemy również, wywnioskować, że:

$\text{dla }{t}_0=0s\text{ mamy }{\Phi }_{B0}=0Wb$  

$\text{dla }{t}_1=5s\text{ mamy }{\Phi }_{B1}=0,012Wb$  

$\text{dla }{t}_2=15s\text{ mamy }{\Phi }_{B2}=0,012Wb$  

$\text{dla }{t}_3=20s\text{ mamy }{\Phi }_{B3}=0Wb$   

Rysujemy wykres:

 

 

$c)$  

Siła elektromotoryczna indukcji wzbudzona w obwodzie jest równa szybkości zmian strumienia indukcji magnetycznej przenikającego przez ten obwód:

${\mathcal{E}}_{\text{ind}}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$  

gdzie εind jest siłą elektromotoryczną indukcji, ΔΦ jest zmianą strumienia indukcji, Δt jest zmianą czasu. Wyznaczmy zmiany strumienia indukcji dla poszczególnych czasów:

$\text{dla }\Delta t_1=5s\text{ mamy: }\Delta {\Phi }_1={\Phi }_{B1}-{\Phi }_{B_0}\Rightarrow \Delta {\Phi }_1=0,012Wb-0Wb=0,012Wb$  

$\text{dla }\Delta t_2=10s\text{ mamy: }\Delta {\Phi }_2={\Phi }_{B2}-{\Phi }_{B_1}\Rightarrow \Delta {\Phi }_2=0,012Wb-0,012Wb=0Wb$  

$\text{dla }\Delta t_3=5s\text{ mamy: }\Delta {\Phi }_1={\Phi }_{B3}-{\Phi }_{B_2}\Rightarrow \Delta {\Phi }_3=0Wb-0,012Wb=-0,012Wb$  

Wówczas dla poszczególnych czasów otrzymujemy, że SEM indukcji wynosi:

$\text{dla }\Delta t_1\text{ mamy: }{\mathcal{E}}_{\text{ind1}}=-\frac{\Delta {\Phi }_1}{\Delta t_1}\Rightarrow {\mathcal{E}}_{\text{ind1}}=-\frac{0,012Wb}{5s}=-\frac{0,012V\cdot s}{5s}=-0,0024V=-2,4\cdot {10}^{-3}V$   

$\text{dla }\Delta t_2\text{ mamy: }{\mathcal{E}}_{\text{ind2}}=-\frac{\Delta {\Phi }_2}{\Delta t_2}\Rightarrow {\mathcal{E}}_{\text{ind2}}=-\frac{0Wb}{5s}=0V$  

$\text{dla }\Delta t_3\text{ mamy: }{\mathcal{E}}_{\text{ind3}}=-\frac{\Delta {\Phi }_3}{\Delta t_3}\Rightarrow {\mathcal{E}}_{\text{ind3}}=-\frac{-0,012Wb}{5s}=\frac{0,012V\cdot s}{5s}=0,0024V=2,4\cdot {10}^{-3}V$  

Rysujemy wykres: 

 

 

$d)$  

Z reguły Lenza wiemy, że kierunek prądu indukowanego w obwodzie jest taki, że pole magnetyczne przez niego wytworzone przeciwdziała przyczynie, która spowodowała jego powstanie. Oznacza to, że w ramce wchodzącej w pole magnetyczne prąd indukcyjny płynie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Natomiast w chwili wychodzenia z pola magnetycznego prąd płynie w zgodnie z ruchem wskazówek zegara.