Oblicz napięcie skuteczne pewnego...- Zadanie Zadanie 11.71: Z fizyką w przyszłość. Zbiór zadań. Zakres rozszerzony. Część 2. Po gimnazjum

Rozwiązanie

$a)$

Pracę wykonaną przez prąd w obwodzie możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$W = \frac{U ^{2}}{R} \cdot t$

gdzie $W$ jest pracą jaką wykona prąd pochodzący ze źródła o napięciu $U$ w obwodzie o oporze $R$ w czasie $t$ . W naszym przypadku możemy zauważyć, że praca jest iloczynem pola pod wykresem i napięcia dla jakiego wyznaczamy pole pod wykresem, podzielony przez opór obwodu:

$W = \frac{pole pod wykresem \cdot warto s ˊ c ˊ napi ę cia na rozwa z ˙ anym przedziale}{R}$

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Obliczmy pierwszą pracę:

$W_{1} = \frac{\frac{2}{3} U _{0} \cdot \frac{1}{3} T \cdot \frac{2}{3} U _{0}}{R}$

$W_{1} = \frac{\frac{4}{27} U _{0}^{2} T}{R}$

$W_{1} = \frac{4 U _{0}^{2} T}{27 R}$

Obliczmy drugą pracę:

$W_{2} = \frac{U _{0} \cdot ( \frac{2}{3} T - \frac{1}{3} T ) \cdot U _{0}}{R}$

$W_{2} = \frac{U _{0} \cdot \frac{1}{3} T \cdot U _{0}}{R}$

$W_{2} = \frac{U _{0}^{2} T}{3 R}$

Obliczmy trzecią pracę:

$W_{3} = \frac{\frac{1}{3} U _{0} \cdot ( T - \frac{2}{3} T ) \cdot \frac{1}{3} U _{0}}{R}$

$W_{3} = \frac{\frac{1}{3} U _{0} \cdot \frac{1}{3} T \cdot \frac{1}{3} U _{0}}{R}$

$W_{3} = \frac{\frac{1}{27} U _{0}^{2} T}{R}$

$W_{3} = \frac{U _{0}^{2} T}{27 R}$

Wówczas całkowita praca wynosi:

$W = W_{1} + W_{2} + W_{3}$

$W = \frac{4 U _{0}^{2} T}{27 R} + \frac{U _{0}^{2} T}{3 R} + \frac{U _{0}^{2} T}{27 R}$

$W = \frac{4 U _{0}^{2} T}{27 R} + \frac{9 U _{0}^{2} T}{27 R} + \frac{U _{0}^{2} T}{27 R}$

$W = \frac{14 U _{0}^{2} T}{27 R}$

Średnią moc prądu wyrażamy wzorem:

$P_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{W}{T}$

gdzie P_śr jest średnią mocą prądu zmiennego, który wykonał pracę W w czasie równym jednemu okresowi ruchu T. Wówczas dla naszego przypadku otrzymujemy, że średnia moc prądu wynosi:

$P_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{W}{T}$

$P_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{\frac{14 U _{0}^{2} T}{27 R}}{T}$

$P_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{14 U _{0}^{2}}{27 R}$

Moc prądu o napięciu skutecznym przedstawimy wzorem:

$P = \frac{U _{s}^{2}}{R}$

gdzie P jest mocą prądu o napięciu skutecznym U_s i w obwodzie o oporze R. Porównajmy moc prądu dla napięcia skutecznego ze średnią mocą prądu i wyznaczmy napięcie skuteczne prądu na tym obwodzie:

$P = P_{\overset{s}{ˊ} r}$

$\frac{U _{s}^{2}}{R} = \frac{14 U _{0}^{2}}{27 R} ∣ \cdot R$

$U_{s}^{2} = \frac{14}{27} \cdot U_{0}^{2} ∣$

$U_{s} = \frac{14}{27} \cdot U_{0}$

$b)$

Postępujemy analogicznie jak w poprzednim podpunkcie. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Obliczmy pierwszą pracę:

$W_{1} = \frac{U _{0} \cdot \frac{1}{4} T \cdot U _{0}}{R}$

$W_{1} = \frac{U _{0}^{2} T}{4 R}$

Obliczmy drugą pracę:

$W_{2} = \frac{- 2 U _{0} \cdot ( \frac{3}{4} T - \frac{1}{4} T ) \cdot ( - 2 U _{0} )}{R}$

$W_{2} = \frac{2 U _{0} \cdot \frac{2}{4} T \cdot 2 U _{0}}{R}$

$W_{2} = \frac{2 U _{0}^{2} T}{R}$

Obliczmy trzecią pracę:

$W_{3} = \frac{2 U _{0} \cdot ( T - \frac{3}{4} T ) \cdot 2 U _{0}}{R}$

$W_{3} = \frac{2 U _{0} \cdot \frac{1}{4} T \cdot 2 U _{0}}{R}$

$W_{3} = \frac{U _{0}^{2} T}{R}$

Całkowita praca będzie miała postać:

$W = W_{1} + W_{2} + W_{3}$

$W = \frac{U _{0}^{2} T}{4 R} + \frac{2 U _{0}^{2} T}{R} + \frac{U _{0}^{2} T}{R}$

$W = \frac{U _{0}^{2} T}{4 R} + \frac{8 U _{0}^{2} T}{4 R} + \frac{4 U _{0}^{2} T}{4 R}$

$W = \frac{13 U _{0}^{2} T}{4 R}$

Średnia moc będzie miała postać:

$P_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{W}{T}$

$P_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{\frac{13 U _{0}^{2} T}{4 R}}{T}$

$P_{\overset{s}{ˊ} r} = \frac{13 U _{0}^{2}}{4 R}$

Wówczas napięcie skuteczne będzie wynosiło:

$P = P_{\overset{s}{ˊ} r}$

$\frac{U _{s}^{2}}{R} = \frac{13 U _{0}^{2}}{4 R} ∣ \cdot R$

$U_{s}^{2} = \frac{13}{4} \cdot U_{0}^{2} ∣$

$U_{s} = \frac{13}{2} \cdot U_{0}$

Ewelina Wysopal

Nauczycielka fizyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.