$\text{a)}$  

W zadaniu podane mamy wykresy zależności natężenia od czasu. 

Pracę wykonaną przez prąd możemy przedstawić wzorem:

$W=I^{2}Rt$  

gdzie $W$  jest pracą jaką wykonuje prąd o natężeniu $I$  i przepływający przez odbiornik o oporze $R$  w czasie $t$ .

W naszym przypadku na wykresie przedstawioną mamy zależność natężenia prądu zmiennego od czasu. Oznacza to, że dla naszego przypadku praca wykonana przez prąd będzie iloczynem oporu, pola pod wykresem i natężenia dla którego obliczamy pole pod wykresem. Obliczmy całkowite pole pod wykresem dla jednego okresu:

Obliczmy pierwszą pracę (pole pod wykresem pomnożone przez opór pomnożone oraz przez natężenie na osi y):

$W_1=I_0\cdot \frac{1}{3}T\cdot R\cdot I_0$  

$W_1=\frac{1}{3}{I}_0^{2}RT$  

Obliczmy drugą pracę:

$W_2=0,5\cdot I_0\cdot \left(\frac{2}{3}T-\frac{1}{3}T\right)\cdot R\cdot 0,5I_0$  

$W_2=\frac{1}{2}{I}_0\cdot \frac{1}{3}T\cdot R\cdot \frac{1}{2}{I}_0$  

$W_2=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot I_0^{2}RT$  

$W_2=\frac{1}{12}{I}_0^{2}RT$  

Wówczas całkowita praca wykonana w ciągu jednego okresu ruchu prądu zmiennego ma postać:

$W=W_1+W_2$  

$W=\frac{1}{3}{I}_0^{2}RT+\frac{1}{12}{I}_0^{2}RT$  

$W=\frac{4}{12}{I}_0^{2}RT+\frac{1}{12}{I}_0^{2}RT$  

$W=\frac{5}{12}{I}_0^{2}RT$  

Średnią moc prądu wyrażamy wzorem:

$P_{\text{sˊr}}=\frac{W}{T}$  

gdzie P_śr jest średnią mocą prądu zmiennego, który wykonał pracę $W$  w czasie równym jednemu okresowi ruchu $T$ . Średnia moc prądu dla naszego przypadku wynosi:

$P_{\text{sˊr}}=\frac{W}{T}$  

$P_{\text{sˊr}}=\frac{\frac{5}{12}\cdot I_0^2\cdot R\cdot T}{T}$  

$P_{\text{sˊr}}=\frac{5}{12}{I}_0^{2}R$

Moc prądu o natężeniu skutecznym przedstawimy wzorem:

$P=I_s^{2}R$  

gdzie $P$  jest mocą prądu o natężeniu skutecznym $I_s$  i w obwodzie o oporze $R$ . Porównajmy moc prądu dla natężenia skutecznego ze średnią mocą prądu i wyznaczmy natężenie skuteczne prądu na tym obwodzie:

$P=P_{\text{sˊr}}$  

$I_s^{2}R=\frac{5}{12}{I}_0^{2}R\mid :R$  

$I_s^2=\frac{5}{12}{I}_0^2\mid \sqrt{}$  

$I_s=\sqrt{\frac{5}{12}}\cdot I_0$  

 

$\text{b)}$  

Postępujemy analogicznie jak w poprzednim podpunkcie. Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Obliczmy pierwszą pracę:

$W_1=0,5\cdot I_0\cdot \frac{1}{4}\cdot T\cdot R\cdot 0,5\cdot I_0$  

$W_1=\frac{1}{2}\cdot I_0\cdot \frac{1}{4}\cdot T\cdot R\cdot \frac{1}{2}\cdot I_0$  

$W_1=\frac{1}{16}{I}_0^{2}RT$  

Obliczmy drugą pracę:

$W_2=I_0\cdot \left(\frac{1}{2}T-\frac{1}{4}T\right)\cdot R\cdot I_0$  

$W_2=I_0\cdot \left(\frac{2}{4}T-\frac{1}{4}T\right)\cdot R\cdot I_0$  

$W_2=I_0^2\cdot \frac{1}{4}T\cdot R$  

$W_2=\frac{1}{4}{I}_0^{2}RT$  

Obliczmy trzecią pracę:

$W_3=-0,5\cdot I_0\cdot \left(T-\frac{3}{4}T\right)\cdot R\cdot \left(-0,5\cdot I_0\right)$  

$W_3=\frac{1}{2}{I}_0\cdot \frac{1}{4}T\cdot R\cdot \frac{1}{2}{I}_0$  

$W_3=\frac{1}{16}{I}_0^{2}RT$  

Obliczmy całkowitą pracę:

$W=W_1+W_2+W_3$  

$W=\frac{1}{16}{I}_0^{2}RT+\frac{1}{4}{I}_0^{2}RT+\frac{1}{16}{I}_0^{2}RT$  

$W=\frac{1}{16}{I}_0^{2}RT+\frac{4}{16}{I}_0^{2}RT+\frac{1}{16}{I}_0^{2}RT$  

$W=\frac{6}{16}{I}_0^{2}RT$  

$W=\frac{3}{8}{I}_0^{2}RT$  

Oznacza to, że średnia moc będzie miała postać:

$P_{\text{sˊr}}=\frac{W}{T}$  

$P_{\text{sˊr}}=\frac{\frac{3}{8}{I}_0^{2}RT}{T}$  

$P_{\text{sˊr}}=\frac{3}{8}{I}_0^{2}R$  

Wyznaczamy natężenie skuteczne prądu:

$P=P_{\text{sˊr}}$  

$I_s^{2}R=\frac{3}{8}{I}_0^{2}R\mid :R$  

$I_s^2=\frac{3}{8}{I}_0^2\mid \sqrt{}$  

$I_s=\sqrt{\frac{3}{8}}\cdot I_0$