Dane:

$\rho =14\cdot {10}^{-8}\Omega \cdot m$  

$s=0,8m{m}^2=0,8\cdot {10}^{-6}{m}^2=8\cdot {10}^{-7}{m}^2$   

$B=0,02T$  

$d=28cm=0,28m$  

Szukane:

$Q=?$  

Rozwiązanie:

Korzystając z prawa indukcji elektromagnetycznej Faradaya otrzymujemy wzór:

$\mathcal{E}=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$  

gdzie $\mathcal{E}$  jest siłą elektromotoryczną powstającą w ramce, $\Delta \Phi$  jest zmianą strumienia indukcji magnetycznej, $\Delta t$  jest zmianą czasu.

Strumień wektora indukcji magnetycznej przedstawiamy wzorem:

$\Phi =\overrightarrow{B}\circ \overrightarrow{S}$  

gdzie $\Phi$  jest strumieniem wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$  przechodzącego przez dowolna powierzchnię, której wektor powierzchniowy to $\overrightarrow{S}$ .

W naszym przypadku podane mamy, że pętlę z drutu wsuwamy prostopadle do linii pola magnetycznego. Oznacza to, że wektor powierzchniowy pętli, przez którą przechodzi pole magnetyczne jest równoległy do wektora indukcji magnetycznej. Możemy zapisać, że:

$\Phi =B\cdot S\cdot \cos 0^{\circ }$  

$\Phi =B\cdot S\cdot 1$  

$\Phi =B\cdot S$  

Powierzchnia, na którą działa siła pole magnetyczne jest kołem o średnicy $d$ . Możemy zatem zapisać, że:

$S=\pi \cdot r^2$  

$S=\pi \cdot {\left(\frac{1}{2}\cdot d\right)}^2$  

$S=\pi \cdot \frac{1}{4}\cdot d^2$  

$S=\frac{1}{4}\pi d^2$   

Wówczas, gdy ramka nie znajduje się w polu magnetycznym to strumień indukcji, którą ją obejmuje jest zerowy:

${\Phi }_1=0$  

Natomiast po wsunięciu w pole magnetyczne będzie miał postać:

${\Phi }_2=B\cdot \frac{1}{4}\pi d^2$  

${\Phi }_2=\frac{1}{4}\pi B{d}^2$  

Zatem zmiana strumienia ma postać: 

$\Delta \Phi ={\Phi }_2-{\Phi }_1$  

$\Delta \Phi =\frac{1}{4}\pi B{d}^2-0$  

$\Delta \Phi =\frac{1}{4}\pi B{d}^2$  

Nas interesuje szybkość zmiany strumienia czyli wartość bezwzględna SEM, zatem możemy ją wyrazić jako:

$\left|\mathcal{E}\right|=\frac{\left|-\Delta \Phi \right|}{\Delta t}$  

$\left|\mathcal{E}\right|=\frac{\left|-\frac{1}{4}\pi B{d}^2\right|}{\Delta t}$  

$\left|\mathcal{E}\right|=\frac{\frac{1}{4}\pi B{d}^2}{\Delta t}$  

Przy czym czas zmian odpowiada czasowi, jaki upłynął od początku ruchu ramki. Dlatego możemy zapisać:

$\left|\mathcal{E}\right|=\frac{\pi B{d}^2}{4t}$  

Siłę elektromotoryczną możemy również przedstawić wzorem:

$\mathcal{E}{}^{\prime }=I\cdot R$  

gdzie $\mathcal{E}{}^{\prime }$  jest siłą elektromotoryczna, $I$  jest natężeniem prądu w przewodniku o oporze $R$ .

Opór przewodnika przedstawiamy wzorem:

$R=\rho \cdot \frac{l}{s}$  

gdzie $R$  jest oporem przewodnika o oporze właściwym $\rho$ , długości $l$  i polu przekroju poprzecznego $s$ .

Długość przewodnika będzie miała postać:

$l=2\cdot \pi \cdot r$  

$l=2\cdot \pi \cdot \frac{1}{2}\cdot d$  

$l=\pi d$  

Natężenie prądu w przewodniku opisujemy wzorem:

$I=\frac{Q}{t}$

gdzie $I$  jest natężeniem, $Q$  jest ładunkiem, $t$  jest czasem przepływu.

Wówczas siła elektromotoryczna przyjmie postać:

$\mathcal{E}{}^{\prime }=I\cdot R$  

$\mathcal{E}{}^{\prime }=\frac{Q}{t}\cdot \rho \cdot \frac{l}{s}$  

$\mathcal{E}{}^{\prime }=\frac{Q\cdot \rho \cdot l}{s\cdot t}$  

$\mathcal{E}{}^{\prime }=\frac{Q\cdot \rho \cdot \pi \cdot d}{s\cdot t}$  

$\mathcal{E}{}^{\prime }=\frac{\pi \rho dQ}{st}$  

Porównując oba wzory na siłę elektromotoryczną wyznaczmy wartość ładunku przepływającego przez pętlę:

$\mathcal{E}{}^{\prime }=\left|\mathcal{E}\right|$  

$\frac{\cancel{\pi }\rho \cancel{d}Q}{s\cancel{t}}=\frac{\cancel{\pi }B{d}^{\cancel{2}}}{4\cancel{t}}\mid \cdot s$  

$\rho Q=\frac{Bds}{4}\mid :\rho$  

$Q=\frac{Bds}{4\rho }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$Q=\frac{0,02T\cdot 0,28m\cdot 8\cdot {10}^{-7}{m}^2}{4\cdot 14\cdot {10}^{-8}\Omega \cdot m}=\frac{0,0448\cdot {10}^{-7}T\cdot m^3}{56\cdot {10}^{-8}\Omega \cdot m}=$  

$=\frac{0,0448\cdot {10}^{-7}\frac{V\cdot s}{m^2}\cdot m^3}{56\cdot {10}^{-8}\frac{V}{A}\cdot m}=\frac{0,0448\cdot {10}^{-7}V\cdot s\cdot m}{56\cdot {10}^{-8}\frac{V}{A}\cdot m}=$  

$=0,0008\cdot 10A\cdot s=0,008\frac{C}{s}\cdot s=0,008C=8mC$