Dane:

$I_1=2\text{A}$    

$r=0,25\mathrm{m}$  

Rozwiązując to zadanie skorzystamy również z:

▶ przenikalność magnetyczna próżni: ${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{N}}{{\mathrm{A}}^2}=12,56\cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{N}}{{\mathrm{A}}^2}$.

Szukane:

$B=?$

Rozwiązanie:

W obu podpunktach - a) i b) - przewodniki kołowe traktujemy, jak pojedyncze zwoje. Naszym zadaniem jest wyznaczenie wypadkowego wektora indukcji wewnątrz zwojów - punkt S. W ogólnym przypadku wiemy, że wartość indukcji magnetycznej w środku przewodnika kołowego wyrażamy wzorem:

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2r}$

gdzie:

$B$ - wartość indukcji pola magnetycznego,

${\mu }_0$ - przenikalność magnetyczna próżni,

$I$ - natężenie prądu płynącego przez przewodnik,

$r$ - promień pętli wykonanej z przewodnika.

Zwrot wektora indukcji określimy korzystając z reguły prawej ręki. 

Rozważmy poszczególne przypadki.

 

$\mathbf{a})$

Mamy dwa przewodniki kołowe, przy czym środek każdego z nich jest wspólny - punkt S. Korzystając z reguły prawej ręki dla przewodnika kołowego możemy wyznaczyć zwrot wektorów indukcji. W tym przypadku prąd w przewodnikach kołowych płynie w tym samym kierunku. Przy każdym przewodniku pomocniczo oznaczmy wektor indukcji pochodzący od konkretnie tego przewodnika, a w środku przewodnika oznaczmy wypadkowy wektor indukcji magnetycznej dla tego obwodu:

gdzie:

${\vec{B}}_1$ - indukcja pola magnetycznego wynikająca z przepływu prądu w pierwszym przewodniku, 

${\vec{B}}_2$ - indukcja pola magnetycznego wynikająca z przepływu prądu w drugim przewodniku, 

$\vec{B}$ - wypadkowa indukcja pola magnetycznego w tym obwodzie. 

Wartość indukcji pola magnetycznego wynikająca z przepływu prądu w pierwszym przewodniku ma postać:

$B_1=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2r_1}$

Wiemy, z treści zadania, że:

$r_1=r$

Wówczas:

$B_1=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2r}$

Wartość indukcji pola magnetycznego wynikająca z przepływu prądu w drugim przewodniku ma postać:

$B_2=\frac{{\mu }_0{I}_2}{2r_2}$

Wiemy, z treści zadania, że: 

$I_2=1,5I_1$

$r_2=2r$

Wówczas:

$B_2=\frac{{\mu }_0\cdot 1,5I_1}{2\cdot 2r}$

$B_2=\frac{1,5}{2}\cdot \frac{{\mu }_0{I}_1}{2r}$

$B_2=0,75B_1$

Ponieważ wektor indukcji pola magnetycznego pochodzący od pierwszego przewodnika ma taki sam zwrot, jak wektor indukcji pola magnetycznego pochodzący od drugiego przewodnika to wartość wypadkowej indukcji pola w punkcie S wynosi:

$B=B_1+B_2$

$B=B_1+0,75B_1$

$B=1,75B_1$

$B=1,75\cdot \frac{{\mu }_0{I}_1}{2r}$

$B=\frac{0,875{\mu }_0{I}_1}{r}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B=\frac{0,875\cdot 12,56\cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{N}}{{\mathrm{A}}^2}\cdot 2\text{A}}{0,25\text{m}}=\frac{21,98\cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}}}{0,25\text{m}}=$

$=87,92\cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}\cdot \mathrm{A}}=8,792\cdot 10^{-6}\text{T}\approx 8,8\cdot 10^{-6}\text{T}$

Odpowiedź: Wartość wektora indukcji pola magnetycznego wytworzonego w punkcie S wynosi około 8,8⋅10^-6 T.

 

$\mathbf{b})$ 

Zauważmy, że wartości indukcji magnetycznych pochodzących od poszczególnych przewodników będą takie same jak w podpunkcie a). Zmieni się zwrot wektora indukcji magnetycznej pochodzącej od drugiego przewodnika. Zwróćmy uwagę jednak na fakt, że:

$B_2=0,75B_1$

Zatem:

$B_2<B_1$

W takim przypadku wypadkowy wektor indukcji magnetycznej w punkcie S ma kierunek i zwrot zgodny z wektorem indukcji magnetycznej pochodzącej od pierwszego przewodnika. Wykonajmy schematyczny rysunek (podobnie, jak w podpunkcie a)):

Możemy zatem zapisać, że wypadkowa indukcja magnetyczna będzie miała wartość:

$B=B_1-B_2$

$B=B_1-0,75B_1$

$B=0,25B_1$

$B=0,25\cdot \frac{{\mu }_0{I}_1}{2r}$

$B=\frac{0,125{\mu }_0{I}_1}{r}$

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B=\frac{0,125\cdot 12,56\cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{N}}{{\mathrm{A}}^2}\cdot 2\text{A}}{0,25\text{m}}=\frac{3,14\cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}}}{0,25\text{m}}=$

$=12,56\cdot 10^{-7}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}\cdot \mathrm{A}}=1,256\cdot 10^{-6}\text{T}\approx 1,26\cdot 10^{-6}\text{T}$

Odpowiedź: Wartość wektora indukcji pola magnetycznego wytworzonego w punkcie S wynosi około 1,26⋅10^-6 T.