Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$\alpha ={15}^{\circ }$  

$\rho =2700\frac{\text{kg}}{m^3}=2,7\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{m^3}$   

$h=14cm=0,14m$  

$d=2cm=0,02m$  

$r=4mm=4\cdot {10}^{-3}m$   

$I=4A$    

Przyjmujemy, że przyspieszenie ziemskie wynosi:

$g=10\frac{m}{s^2}$  

 

$\text{a)}$  

Składowa siły ciężkości działającej na pręt będzie powodowała jego ruch w dół równi. Wiemy, że pręt jest nieruchomy, czyli składowa siły elektrodynamicznej musi być zwrócona w górę, aby siły się równoważyły. Wiemy, że siła elektrodynamiczna jest prostopadła do linii pola magnetycznego, czyli zwrócona jest w lewo. Korzystając z reguły lewej ręki otrzymujemy, że kierunek przepływu prądu zwrócony jest za kartkę (rysunek poniżej).

 

$\text{b)}$  

Wykonajmy rysunek z zadania w płaszczyźnie i zaznaczmy siły działające na pręt:

gdzie ${\overrightarrow{F}}_e$  jest siłą elektrodynamiczną, ${\overrightarrow{F}}_{e1}$  i ${\overrightarrow{F}}_{e2}$   są składowymi siły elektrodynamicznej, ${\overrightarrow{F}}_c$  jest siłą ciężkości, ${\overrightarrow{F}}_1$  i ${\overrightarrow{F}}_2$  są składowymi siły ciężkości równoległą i prostopadłą do równi pochyłej, odpowiednio. 

 

$\text{c)}$  

Korzystając z rysunku widzimy, że siła elektrodynamiczna składa się z dwóch składowych. Równoległej i prostopadłej do równi. Zauważmy, że składowa siły elektrodynamicznej równoległa do równi jest zrównoważona przez składową równoległą do równi pochyłej siły ciężkości:

$F_{e1}=F_1$    

Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zauważyć, że składową równoległą do równi pochyłej siły ciężkości oraz siły elektrodynamicznej możemy przedstawić jako: 

$\sin \alpha =\frac{F_1}{F_c}\text{, czyli }{F}_1=F_c\sin \alpha$  

$\cos \alpha =\frac{F_{e1}}{F_e}\text{, czyli }{F}_{e1}=F_e\cos \alpha$  

Wartość siły ciężkości przedstawiamy wzorem:

$F_c=m\cdot g$  

gdzie $m$  jest masą, $g$  jest wartością przyspieszenia ziemskiego.

Masę pręta obliczymy korzystając z definicji gęstości:

$\rho =\frac{m}{V}\text{, czyli }m=\rho \cdot V$  

gdzie $\rho$  jest gęstością, $m$  jest masą, $V$  jest objętością.

Zauważmy, że nasz pręt jest walcem o wysokości $h$  i promieniu $r$ , czyli jego objętość możemy obliczyć korzystając z wzoru:

$V=\pi r^{2}h$   

Siłę elektrodynamiczną opisujemy za pomocą wzoru:

${\overrightarrow{F}}_e=I\cdot \overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$  

gdzie ${\overrightarrow{F}}_e$  jest siłą elektrodynamiczną działająca na przewodnik o długości $l$  umieszczony w polu magnetycznym o indukcji $\overrightarrow{B}$ , przez który przepływa prąd o natężeniu $I$ .

Zauważmy, że wektor pola magnetycznego jest prostopadły do pręta, czyli wartość siły elektrodynamicznej możemy przedstawić wzorem:

${\overrightarrow{F}}_e=I\cdot \overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$  

$F_e=IlB\cdot \sin {90}^{\circ }$  

$F_e=IlB\cdot 1$  

$F_e=IlB$  

Zauważmy, że w naszym przypadku długość umieszczonego w polu magnetycznym pręta jest różnicą długości całego pręta i dwóch wystających poza pole magnetyczne części pręta:

$l=h-2\cdot d$  

Wówczas korzystając z początkowego założenia otrzymujemy, że wartość indukcji magnetycznej będzie miała postać:

$F_{e1}=F_1$  

$F_e\cos \alpha =F_c\sin \alpha \mid :\cos \alpha$  

$F_e=F_c\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

$F_e=F_c\mathrm{tg}\alpha$  

$IlB=mg\mathrm{tg}\alpha \mid :Il$  

$B=\frac{mg\mathrm{tg}\alpha }{Il}$  

$B=\frac{\rho Vg\mathrm{tg}\alpha }{I\left(h-2d\right)}$  

$B=\frac{\rho \pi r^{2}hg\mathrm{tg}\alpha }{I\left(h-2d\right)}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$B=\frac{2,7\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{m^3}\cdot 3,14\cdot {\left(4\cdot {10}^{-3}m\right)}^2\cdot 0,14m\cdot 10\frac{m}{s^2}\cdot \mathrm{tg}{15}^{\circ }}{4A\cdot \left(0,14m-2\cdot 0,02m\right)}=$     

$=\frac{2,7\cdot {10}^3\frac{\text{kg}}{m^3}\cdot 3,14\cdot 16\cdot {10}^{-6}{m}^2\cdot 0,14m\cdot 10\frac{m}{s^2}\cdot 0,2679}{4A\cdot \left(0,14m-0,04m\right)}\approx$     

$\approx \frac{5,0876\cdot {10}^{-2}\text{kg}\cdot \frac{m}{s^2}}{4A\cdot 0,1m}\approx \frac{0,051N}{0,4A\cdot m}=$

$=0,1275\frac{N}{A\cdot m}\approx 0,13T$