Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$q_0=4nC=4\cdot {10}^{-9}C$  

$V=10,8\cdot {10}^5\text{V}$  

$W_{\infty \to A}=12\cdot 10\cdot {10}^{-4}J$  

$d=5cm=0,05m$  

Jeżeli podana zastała średnica kuli to jej promień będzie wynosił:

$R=\frac{1}{2}\cdot d$  

Potencjał pola elektrostatycznego możemy przedstawić wzorem:

$V=\frac{k\cdot Q}{r}$  

gdzie V jest potencjałem pola elektrostatycznego, k jest współczynnikiem proporcjonalności, Q jest ładunkiem źródłowym, r jest odległością ładunku źródłowego od miejsca badania potencjału pola elektrostatycznego. Potencjał naładowanej kuli badamy w odległości równej promieniowi tej kuli, dlatego możemy zapisać, że:

$V=\frac{k\cdot Q}{R}$  

gdzie R jest promieniem kuli, Q jest ładunkeim tej kuli. Wyznaczmy wartośc ładunku zgromadzonego na kuli:

$V=\frac{k\cdot Q}{R}$  

$V=\frac{k\cdot Q}{\frac{1}{2}\cdot d}$  

$V=\frac{2\cdot k\cdot Q}{d}\mid \cdot d$  

$V\cdot d=2\cdot k\cdot Q$  

Zamieniamy stronami:

$2\cdot k\cdot Q=V\cdot d\mid :\left(2\cdot k\right)$  

$Q=\frac{V\cdot d}{2\cdot k}$  

Ładunek, który przenosimy z nieskończoności w nieskończoności bedzie znajdował się w polu o potencjale:

$V_{\infty }=\frac{k\cdot Q}{r}$  

Natomiast ładunek przeniesiony do punktu A będzie znajdowała się w polu o potencjale:

$V_A=\frac{k\cdot Q}{l}$   

gdzie l jest odległością ładunku q₀ od środka ladunku źródłowego Q. Pracę jaką wykonają siły wewnętrzne pola elektrostatycznego, aby ładunek q₀ przenieść z punktu A do B opisujemy wzorem:

$W_{A\to B}=q_0\cdot \left(V_A-V_B\right)$

gdzie W_A->B jest pracą jaką należy wykonać, aby przenieść ładunek o wartości q₀ z miejsca o potencjale V_A do miejsca o potencjale V_B. W naszym przypadku przenosimy ładunek z nieskończoności do punktu A, czyli wykonujemy pracę zewnętrzną. Oznacza to, że:

$W_{\infty \to A}=-q_0\cdot \left(V_{\infty }-V_A\right)$  

$W_{\infty \to A}=q_0\cdot \left(V_A-V_{\infty }\right)$  

Ładunek znajduje sie w nieskończoności, czyli możemy zapisać, że: 

$W_{\infty \to A}=\underset{r\to \infty }{\lim }{q}_0\cdot \left(V_A-V_{\infty }\right)=\underset{r\to \infty }{\lim }{q}_0\cdot \left(\frac{k\cdot Q}{l}-{\left[\frac{k\cdot Q}{r^{\to \infty }}\right]}^{\to 0}\right)=q_0\cdot \frac{k\cdot Q}{l}$   

Wyznaczmy odległość ładunku znajdującego się w punkcie A od środka ładunku Q:

$W_{\infty \to A}=q_0\cdot \frac{k\cdot Q}{l}\mid \cdot l$  

$W_{\infty \to A}\cdot l=q_0\cdot k\cdot Q\mid :W_{\infty \to A}$  

$l=\frac{q_0\cdot k\cdot Q}{W_{\infty \to A}}$  

Oznacza to, że odległość ładunku q₀ od kuli będzie różnicą odległości ładunku od środka kuli l i promienia tej kuli:

$x=l-R$  

$x=\frac{q_0\cdot k\cdot Q}{W_{\infty \to A}}-\frac{1}{2}\cdot d$  

$x=\frac{q_0\cdot k\cdot \frac{V\cdot d}{2\cdot k}}{W_{\infty \to A}}-\frac{d\cdot W_{\infty \to A}}{2\cdot W_{\infty \to A}}$  

$x=\frac{q_0\cdot V\cdot d}{2\cdot W_{\infty \to A}}-\frac{d\cdot W_{\infty \to A}}{2\cdot W_{\infty \to A}}$  

$x=\frac{q_0\cdot V\cdot d-d\cdot W_{\infty \to A}}{2\cdot W_{\infty \to A}}$  

$x=\frac{d\cdot \left(q_0\cdot V-W_{\infty \to A}\right)}{2\cdot W_{\infty \to A}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$x=\frac{0,05m\cdot \left(4\cdot {10}^{-9}C\cdot 10,8\cdot {10}^5\text{V}-12\cdot {10}^{-4}J\right)}{2\cdot 12\cdot {10}^{-4}J}=\frac{0,05m\cdot \left(4\cdot {10}^{-9}C\cdot 10,8\cdot {10}^5\frac{N\cdot m}{C}-12\cdot {10}^{-4}N\cdot m\right)}{24\cdot {10}^{-4}N\cdot m}=$  

$=\frac{0,05m\cdot \left(43,2\cdot {10}^{-9+5}N\cdot m-12\cdot {10}^{-4}N\cdot m\right)}{24\cdot {10}^{-4}N\cdot m}=\frac{0,05m\cdot \left(43,2\cdot {10}^{-4}N\cdot m-12\cdot {10}^{-4}N\cdot m\right)}{24\cdot {10}^{-4}N\cdot m}=$  

$=\frac{0,05m\cdot 31,2\cdot {10}^{-4}N\cdot m}{24\cdot {10}^{-4}N\cdot m}=\frac{1,56\cdot {10}^{-4}N\cdot m^2}{24\cdot {10}^{-4}N\cdot m}=0,065m=6,5cm$