Wypiszmy dane podane w zadaniu:

$R_1=400\Omega$  

$R_2=400\Omega$   

$R_3=600\Omega$

$R_1{}^{\prime }=800\Omega$  

$R_2{}^{\prime }=400\Omega$   

$R_3{}^{\prime }=600\Omega$  

$I_s=40mA=0,04A$  

 

$a)$  

Napięcie skuteczne źródła w tym przypadku najprościej będzie obliczć jeżeli prąd będzie przepływał w kierunku przewodzenia diody dla układu I. Zauważmy, że wówczas będzie przechodził jedynie przez opornik 3. Korzystając z prawa Ohma wiemy, że:

$U=R\cdot I$  

gdzie U jest napięciem, I jest natężeniem, R jest oporem. Wówczas napięcie skuteczne będzie miało postać:

$U_s=R_3\cdot I_s$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U_s=600\Omega \cdot 0,04A=24\Omega \cdot A=24V$  

 

$b)$  

Opornik 1' z opornikami 2' i 3' połączony jest równolegle. Z tego wynika, że napięcie na oporniku 1' i układzie oporników 2' i 3' jest takie samo. Oporniki 2' i 3' połączone są szeregowo. Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo obliczamy korzystając z wzoru:

$R_z=\sum _{i=1}^n{R}_i$  

gdzie R_z jest oporem zastępczym, R_i jest oporem poszczególnych oporników, n jest liczbą oporników w układzie. Wówczas opór zastępczy tych oporników będzie miał postać:

$R_{2{}^{\prime },3{}^{\prime }}=R_2{}^{\prime }+R_3{}^{\prime }$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{2{}^{\prime },3{}^{\prime }}=400\Omega +600\Omega =1000\Omega$  

Korzystając z prawa Ohma wiemy, że:

$U=R\cdot I$  

gdzie U jest napięciem, I jest natężeniem, R jest oporem. Natężenie prądu przepływającego przez opornik 1' będzie miało postać:

$I_1{}^{\prime }=\frac{U_s}{R_1{}^{\prime }}$  

$I_1{}^{\prime }=\frac{24V}{800\Omega }=0,03A$  

Natężnie prądu przepływającego przez opornik 2' jeżeli prąd płynie w kierunku przewodzenia diody będzie miało postać:

$I_2{}^{\prime }=\frac{U_s}{R_2{}^{\prime }}$  

$I_2{}^{\prime }=\frac{24V}{400\Omega }=0,06A$  

Natężnie prądu przepływającego przez opornik 2' i 3' jeżeli prąd płynie w kierunku zaporowym diody będzie miało postać:

$I_{2{}^{\prime },3{}^{\prime }}=\frac{U_s}{R_{2,{}^{\prime }3{}^{\prime }}}$  

$I_{2{}^{\prime },3{}^{\prime }}=\frac{24V}{1000\Omega }=0,024A$  

Pierwsze prawo Kirchoffa mówi nam, że suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów z węzła wypływających. Wówczas jeżeli prąd płynie w kierunku przewodzenia diody to jego natężenie wynosi:

$I_p=I_1{}^{\prime }+I_2{}^{\prime }$  

$I_p=0,03A+0,06A=0,09A=90mA$  

Natężenie prądu płynące przez obwód, jeżeli prąd płynie w kierunku zaporowym będzie wynosiło:

$I_z=I_1+I_{2{}^{\prime },3{}^{\prime }}$  

$I_z=0,03A+0,024A=0,054A=54mA$  

 

$c)$  

Zauważmy, że w obwodzie I natężenie prądu, jeżeli płynie w kierunku przewodzenia diody wynosi:

$I_{pI}=\frac{U_s}{R_3}$  

$I_{pI}=\frac{24V}{600\Omega }=0,04A$  

Jeżeli w obwodzie I prąd płynie w kierunku zaporowym diody, to przepływa przez wszystkie oporniki. Oporniki 1 i 2  połączone są równolegle. Opór zastępczy oporników połączonych równolegle obliczamy korzystając  z wzoru:

$\frac{1}{R_z}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{R_i}$  

gdzie R_z jest oporem zastępczym, R_i jest oporem poszczególnych oporników, n jest liczbą oporników w układzie. Z tego wynika, że opór zastępczy układu będzie miał postać:

$\frac{1}{R_{1,2}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$   

$\frac{1}{R_{1,2}}=\frac{R_2}{R_1\cdot R_2}+\frac{R_1}{R_1\cdot R_2}$     

$\frac{1}{R_{1,2}}=\frac{R_1+R_2}{R_1\cdot R_2}$    

Z tego wynika, że:

$R_{1,2}=\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}$   

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$R_{1,2}=\frac{400\Omega \cdot 400\Omega }{400\Omega +400\Omega }=\frac{160000{\Omega }^2}{800\Omega }=200\Omega$    

Układ oporników 1,2 z opornikiem 3 połączony jest szeregowo. Oznacza to, że opór zastępczy całego obwodu I będzie wynosił:

$R=R_{1,2}+R_3$  

$R=200\Omega +600\Omega =800\Omega$  

Korzystając z prawa Ohma otrzymujemy, że natężenie prądu płynącego w kierunku zaporowym diody w obwodzie I będzie miało postać:

$I_{zI}=\frac{U_s}{R}$  

$I_{zI}=\frac{24V}{800\Omega }=0,03A$

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że:

$I_{pII}=0,09A$  

$I_{zII}=0,054A$   

Zacznijmy od wyznaczenia mocy obwodu, gdy prąd płynie w kierunku przewodzenia diody.  Moc urządzenia elektrycznego przedstawiamy wzorem:

$P=I\cdot U$  

gdzie P jest mocą urządzenia elektrycznego podłączonego do napięcia U, przez które przepływa prąd o natężeniu I.  Z tego wynika, że moc prądu w pierwszym obwodzie dla poszczególnych kierunków prądu będzie wynosiła:

$P_{1.I}=I_{pI}\cdot U_s$  

$P_{2.I}=I_{zI}\cdot U_s$    

Natomiast dla drugiego obwaodu będzie miała postać:

$P_{1.II}=I_{pII}\cdot U_s$  

$P_{2.II}=I_{zII}\cdot U_s$  

Moc średnia jest stosunkiem całkowitej pracy wykonanej do czasu:

$P=\frac{W}{t}$

gdzie P jest mocą, W jest całkowitą pracą, t jest czasem. Czas pracy będzie sumą czasu, gdy urządzenia pracuje z mocą P1 i czasu, gdy urządzenie pracuje z mocą P2:

$t=t_1+t_2$

Całkowita praca wykonana przez odbiornik jest sumą pracy, gdy odbiornik pracuje z mocą P1 i pracy, gdy odbiornik pracuje z mocą P2:

$W=W_1+W_2$

Poszczególne prace możemy wyznaczyć z zależności:

$W_1=P_1\cdot t_1\text{ oraz }{W}_2=P_2\cdot t_2$

Z tego wynika, że średnia moc odbiornika będzie miała postać:

$P_{\text{sˊr}}=\frac{W}{t}$

$P_{\text{sˊr}}=\frac{W_1+W_2}{t_1+t_2}$

$P_{\text{sˊr}}=\frac{P_1\cdot t_1+P_2\cdot t_2}{t_1+t_2}$

Dla naszego przypadku, gdy badamy średnią moc skuteczną układów, to czas pracy jest taki sam:

$t_1=t_2$

Wówczas:

$P_{\text{sˊr}}=\frac{P_1\cdot t_1+P_2\cdot t_2}{t_1+t_2}$

$P_{\text{sˊr}}=\frac{P_1\cdot t_1+P_2\cdot t_1}{t_1+t_1}$

$P_{\text{sˊr}}=\frac{\left(P_1+P_2\right)\cdot t_1}{2\cdot t_1}$

$P_{\text{sˊr}}=\frac{P_1+P_2}{2}$

Moc średnia pierwszego obwodu będzie wynosiła:

$P_{\text{sˊr.I}}=\frac{P_{1.I}+P_{2.I}}{2}$  

$P_{\text{sˊr.I}}=\frac{I_{pI}\cdot U_s+I_{zI}\cdot U_s}{2}$  

$P_{\text{sˊr.I}}=\frac{\left(I_{pI}+I_{zI}\right)\cdot U_s}{2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_{\text{sˊr.I}}=\frac{\left(0,04A+0,03A\right)\cdot 24V}{2}=\frac{0,07A\cdot 24V}{2}=\frac{1,68V\cdot A}{2}=\frac{1,68W}{2}=0,84W$      

Moc średnia drugiego obwodu będzie wynosiła:

$P_{\text{sˊr.II}}=\frac{P_{1.II}+P_{2.II}}{2}$  

$P_{\text{sˊr.II}}=\frac{I_{pII}\cdot U_s+I_{zII}\cdot U_s}{2}$  

$P_{\text{sˊr.II}}=\frac{\left(I_{pII}+I_{zII}\right)\cdot U_s}{2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$P_{\text{sˊr.I}}=\frac{\left(0,09A+0,054A\right)\cdot 24V}{2}=\frac{0,144A\cdot 24V}{2}=\frac{3,456V\cdot A}{2}=\frac{3,456W}{2}=1,728W$