$a)$  

Promieniowanie złożone z fotonów o największej energii to promieniowanie o najmniejszej długości fali, czyli krótkofalowa granica ciągłego widma promieniowania hamowania. Korzystając ze związków między częstotliwością i długością fali, możemy zapisać wzór:

$E_k=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}}$  

gdzie E_k jest energia kinetyczną, h jest stałą Plancka, c jest prędkością światła, λ_min jest minimalną długością fali. Energia kinetyczna będzie równoważyć elektryczną energię hamującą. Energię elektryczną przedstawiamy wzorem:

$E=q\cdot U$

gdzie E jest energia z jaką porusza się ładunek o wartości q przyspieszony napięciem U. W naszym przypadku ładunkiem jest elektron, czyli mamy:

$E_k=E$

$E_k=q\cdot U$

$E_k=e\cdot U$  

Wówczas długość fali promieniowania rentgenowskiego możemy przedstawić za pomocą wzoru:

$E_k=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}}\mid \cdot \frac{{\lambda }_{\text{min}}}{E_k}$   

${\lambda }_{\text{min}}=\frac{h\cdot c}{E_k}$ ${\lambda }_{\text{min}}=\frac{h\cdot c}{E_k}$  

${\lambda }_{\text{min}}=\frac{h\cdot c}{e\cdot U}$     

Z tego wynika, że długość fali ograniczona jest przez napięcie między katodą i anodą lampy rentgenowskiej.  

 

$b)$  

W zadaniu podane mamy, że:

${\lambda }_{\text{min}}=1nm={10}^{-9}m$  

Korzystamy z wzoru:

$E_k=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}}$  

Wiemy, że energię kinetyczną możemy przedstawić wzorem:

$E_k=\frac{m\cdot v^2}{2}$  

gdzie E_k jest energią kinetyczna ciała o masie m poruszającego się z prędkością v. W naszym przypadku poruszającym się ciałem jest elektron. Energia kinetyczna elektronu będzie miała postać:

$E_k=\frac{m_e\cdot v^2}{2}$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$E_k=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}}$

$\frac{m_e\cdot v^2}{2}=\frac{h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}}\mid \cdot \frac{2}{m_e}$  

$v^2=\frac{2\cdot h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}\cdot m_e}\mid \sqrt{}$  

$v=\sqrt{\frac{2\cdot h\cdot c}{{\lambda }_{\text{min}}\cdot m_e}}$  

Z tablic fizycznych odczytujemy stałą Plancka, prędkość światła i masę elektronu:

$h=6,625\cdot {10}^{-34}J\cdot s$  

$c=3\cdot {10}^8\frac{m}{s}$  

$m_e=9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v=\sqrt{\frac{2\cdot 6,625\cdot {10}^{-34}J\cdot s\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{s}}{{10}^{-9}m\cdot 9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}}}=\sqrt{\frac{39,75\cdot {10}^{-26}J\cdot m}{9,1\cdot {10}^{-40}\text{kg}\cdot m}}=\sqrt{\frac{39,75\cdot {10}^{-26}\text{kg}\cdot \frac{m^2}{s^2}\cdot m}{9,1\cdot {10}^{-40}\text{kg}\cdot m}}\approx$  

$\approx \sqrt{4,37\cdot {10}^{14}\frac{m^2}{s^2}}\approx 2,09045\cdot {10}^7\frac{m}{s}\approx 2,1\cdot {10}^7\frac{m}{s}$   

 

$c)$  

Korzystamy z wzoru:

$E_k=e\cdot U$  

Wówczas:

$e\cdot U=E_k$  

$e\cdot U=\frac{m_e\cdot v^2}{2}\mid :e$  

$U=\frac{m_e\cdot v^2}{2\cdot e}$  

Z tablic fizycznych odczytujemy wartość ładunku elektronu:

$e=1,602\cdot {10}^{-19}C$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$U=\frac{9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot {\left(2,09045\cdot {10}^7\frac{m}{s}\right)}^2}{2\cdot 1,602\cdot {10}^{-19}C}=\frac{9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot 4,369981203\cdot {10}^{14}\frac{m^2}{s^2}}{3,204\cdot {10}^{-19}C}=\frac{9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}\cdot 4,369981203\cdot {10}^{14}\frac{m^2}{s^2}}{3,204\cdot {10}^{-19}C}=$     

$=\frac{39,76682894\cdot {10}^{-17}\text{kg}\cdot \frac{m^2}{s^2}}{3,204\cdot {10}^{-19}C}=\frac{39,76682894\cdot {10}^{-17}J}{3,204\cdot {10}^{-19}C}\approx 12,4\cdot {10}^2\frac{J}{C}=1240V$