Wypiszmy dane podane w zadaniu:

${\lambda }_1=250nm=250\cdot {10}^{-9}m=2,5\cdot {10}^{-7}m$  

${\lambda }_2=260nm=260\cdot {10}^{-9}m=2,6\cdot {10}^{-7}m$  

$v_2=0,25\cdot v_1\Rightarrow v_2=\frac{1}{4}\cdot v_1$  

Z tablic fizycznych odczytujemy, że:

$h=6,625\cdot {10}^{-34}J\cdot s$  

$c=3\cdot {10}^8\frac{m}{s}$  

$m_e=9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}$  

 

$a)$  

Korzystając z równania Einsteina wiemy, że:

$h\cdot \nu =W+E_k$  

gdzie h jest stałą Plancka, λ jest częstotliwością, Ek jest energią kinetyczną fotoelektronu, W jest pracą wyjścia (energią niezbędną do uwolnienia elektronu). Korzystając zwzoru na długość fali wiemy, że jej czętotliwość promieniowania możemy opisać wzorem:

$\nu =\frac{c}{\lambda }$  

gdzie ν jest częstotliwością, c jest prędkością światła, λ jest długością fali. Wówczas otrzymujemy, że równanie Einsteina przyjmie postać:

$h\cdot \nu =W+E_k$  

$h\cdot \frac{c}{\lambda }=W+E_k$  

Wyznaczmy wartość pracy wyjścia:

$W+E_k=h\cdot \frac{c}{\lambda }\mid -E_k$  

$W=h\cdot \frac{c}{\lambda }-E_k$  

Energię kinetyczną możemy przedstawić wzorem:

$E_k=\frac{m\cdot v^2}{2}$

gdzie E_k jest energią kinetyczną ciała o masie m poruszającego się w prędkością v. Dla naszego przypadku poruszającym ciałem jest elektron:

$E_k=\frac{m_e\cdot v^2}{2}$

gdzie m_e jest masą elektronu, v jest prędkością ruchu elektronu. Wówczas otrzymujemy, że praca wyjścia dla pierwszej długości fali wynosi:

$W_1=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-E_{k1}$  

$W_1=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}$  

Natomiast dla drugiej długości fali wynosi:

$W_2=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}-E_{k2}$  

$W_2=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}-\frac{m_e\cdot v_2^2}{2}$  

Praca wyjścia elektronów z metalu dla każdej długości fali jest taka sama. Oznacza to, że otrzymujemy równanie, z którego wynzczymy prędkośc fotoelektronu dla pierwszej długości fali:

$W_1=W_2$

$h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}-\frac{m_e\cdot v_2^2}{2}\mid -h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}+\frac{m_e\cdot v_2^2}{2}$  

$-\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_e\cdot v_2^2}{2}=-h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}+h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}-\frac{m_e\cdot v_2^2}{2}=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}$  

$\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}-\frac{m_e\cdot {\left(\frac{1}{4}\cdot v_1\right)}^2}{2}=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-h\cdot \frac{c}{{\lambda }_2}$  

$\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}-\frac{\frac{1}{16}\cdot m_e\cdot v_1^2}{2}=h\cdot c\cdot \left(\frac{1}{{\lambda }_1}-\frac{1}{{\lambda }_2}\right)$  

$\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}-\frac{\frac{1}{16}\cdot m_e\cdot v_1^2}{2}=h\cdot c\cdot \left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}\right)$  

$\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}-\frac{m_e\cdot v_1^2}{32}=h\cdot c\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}\mid \cdot 32$  

$16\cdot m_e\cdot v_1^2-m_e\cdot v_1^2=32\cdot h\cdot c\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$15\cdot m_e\cdot v_1^2=32\cdot h\cdot c\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}\mid :\left(15\cdot m_e\right)$  

$v_1^2=\frac{32}{15}\cdot \frac{h\cdot c}{m_e}\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}\mid \sqrt{}$  

$v_1=\sqrt{\frac{32}{15}\cdot \frac{h\cdot c}{m_e}\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$v_1=\sqrt{\frac{32}{15}\cdot \frac{6,625\cdot {10}^{-34}J\cdot s\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{s}}{9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}}\cdot \frac{2,6\cdot {10}^{-7}m-2,5\cdot {10}^{-7}m}{2,6\cdot {10}^{-7}m\cdot 2,5\cdot {10}^{-7}m}}=\sqrt{\frac{32}{15}\cdot \frac{19,875\cdot {10}^{-26}J\cdot m}{9,1\cdot {10}^{-31}\text{kg}}\cdot \frac{0,1\cdot {10}^{-7}m}{6,5\cdot {10}^{-14}{m}^2}}\approx$  

$\approx \sqrt{2,133\cdot 2,184\cdot {10}^{5}J\cdot \frac{m}{\text{kg}}\cdot 0,0154\cdot {10}^7\frac{1}{m}}=\sqrt{2,133\cdot 2,184\cdot {10}^5\text{kg}\cdot \frac{m^2}{s^2}\cdot \frac{m}{\text{kg}}\cdot 0,0154\cdot {10}^7\frac{1}{m}}\approx \sqrt{0,07174\cdot {10}^{12}\frac{m^2}{s^2}}=$  

$=\sqrt{7,174\cdot {10}^{10}\frac{m^2}{s^2}}\approx 2,7\cdot {10}^5\frac{m}{s}$  

Wówczas prędkość fotoelektronu w przypadku drugiej długości fali wynosi:

$v_2=0,25\cdot v_1$  

$v_2=0,25\cdot 2,7\cdot {10}^5\frac{m}{s}=0,675\cdot {10}^5\frac{m}{s}\approx 0,7\cdot {10}^5\frac{m}{s}$  

 

$b)$  

Korzystamy z równania Einsteina dla pierwszej długości fali:

$W_1=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}$  

Wiemy, że:

$W=W_1=W_2$  

Wówczas pracę wyjścia możemy opisać zależnością:

$W=W_1$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot v_1^2}{2}$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot {\left(\sqrt{\frac{32}{15}\cdot \frac{h\cdot c}{m_e}\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}}\right)}^2}{2}$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{m_e\cdot \frac{32}{15}\cdot \frac{h\cdot c}{m_e}\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}}{2}$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-m_e\cdot \frac{16}{15}\cdot \frac{h\cdot c}{m_e}\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{16}{15}\cdot h\cdot c\cdot \frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{{\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=h\cdot \frac{c}{{\lambda }_1}-\frac{16\cdot h\cdot c\cdot \left({\lambda }_2-{\lambda }_1\right)}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=\frac{15\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_2}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}-\frac{16\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_2-16\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_1}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=\frac{15\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_2-16\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_2+16\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_1}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=\frac{16\cdot h\cdot c\cdot {\lambda }_1-h\cdot c\cdot {\lambda }_2}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

$W=\frac{h\cdot c\cdot \left(16\cdot {\lambda }_1-{\lambda }_2\right)}{15\cdot {\lambda }_1\cdot {\lambda }_2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru:

$W=\frac{6,625\cdot {10}^{-34}J\cdot s\cdot 3\cdot {10}^8\frac{m}{s}\cdot \left(16\cdot 2,5\cdot {10}^{-7}m-2,6\cdot {10}^{-7}m\right)}{15\cdot 2,5\cdot {10}^{-7}m\cdot 2,6\cdot {10}^{-7}m}=\frac{19,875\cdot {10}^{-26}J\cdot m\cdot \left(40\cdot {10}^{-7}m-2,6\cdot {10}^{-7}m\right)}{97,5\cdot {10}^{-14}{m}^2}=$   

$=\frac{19,875\cdot {10}^{-26}J\cdot m\cdot 37,4\cdot {10}^{-7}m}{97,5\cdot {10}^{-14}{m}^2}=\frac{743,325\cdot {10}^{-33}J\cdot m^2}{97,5\cdot {10}^{-14}{m}^2}\approx 7,623846\cdot {10}^{-19}J\approx 7,62\cdot {10}^{-19}J$    

Wiemy, że:

$1J=6,24\cdot {10}^{18}eV$  

Wówczas otrzymujemy, że:

$W=7,623846\cdot {10}^{-18}J=7,62\cdot {10}^{-19}\cdot 6,24\cdot {10}^{18}eV=47,57279904\cdot {10}^{-1}eV=4,757279904eV\approx 4,76eV$