$a)$  

Natężenie pola grawitacyjnego jest równe sile, z jaką dane pole grawitacyjne działa na jednostkową masę. Oznacza to, że jest równoważne przyspieszeniu jakie posiada punkt materialny. W zadaniu mamy podany wzór na natężenie pola grawitacyjnego:

$\gamma =\frac{4}{3}\pi G\rho r$  

gdzie r jest odległością od środka Ziemi. Punkt materialny porusza się w tunelu przewierconym przez środek Ziemi. Z wzoru widzimy, że natężenie jest wprost proporcjonalne do odległości od środka Ziemi. Oznacza to, że im mniejsza odległość od środka Ziemi, tym mniejsze jest natężenie pola grawitacyjnego. Wywnioskować z tego możemy, że punkt poruszając się w stronę środka Ziemi będzie poruszał się ruchem opóźnionym, a po minięciu środka Ziemi będzie poruszał się ruchem przyspieszonym. Zmiana przyspieszenia w zależności od odległości od środka Ziemi, który w naszym przypadku jest punktem równowagi oznacza, że mamy do czynienia z ruchem drgającym. 

Wiemy, że odległość punktu od ciała wynosi r oraz przyjmujemy, że γ jest przyspieszeniem. Możemy zatem zapisać, że wzór na okres drgań będzie miał postać:

$T=2\pi \sqrt{\frac{r}{\gamma }}$  

$T=2\pi \sqrt{\frac{r}{\frac{4}{3}\pi G\rho r}}$  

$T=\sqrt{\frac{{\left(2\pi \right)}^{2}r}{\frac{4}{3}\pi G\rho r}}$  

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^{2}r}{\frac{4}{3}\pi G\rho r}}$