Autorzy:Agnieszka Bożek, Katarzyna Nessing, Jadwiga Salach

Wydawnictwo:WSiP

Rok wydania:2016

Zakładając, że Ziemia jest jednorodna kulą, tzn. ma jednakową gęstość... 4.56 gwiazdek na podstawie 9 opinii
  1. Liceum
  2. 2 Klasa
  3. Fizyka

Zakładając, że Ziemia jest jednorodna kulą, tzn. ma jednakową gęstość...

Zadanie 7.26
 Zadanie
Zadanie 7.27
 Zadanie

Zadanie 7.28
 Zadanie

`a)` 

Natężenie poja grawitacyjnego jest równe sile, z jaką dane pole grawitacyjne działa na jednostkową masę. Oznacza to, że jest równoważne przyspieszeniu jakie posiada punkt materialny. W zadaniu mamy podany wzór na natężenie pola grawitacyjnego:

`gamma = 4/3 pi G rho r` 

gdzie r jest odległością od środka Ziemi. Punkt materialny porusza się w tunelu przewierconym przez środek Ziemi. Z wzoru widzimy, że nateżenie jest wprost proporcjonalne do odległości od środka Ziemi. Oznacza to, że im mniejsza odległość od środka Ziemi, tym mniejsze jest natężenie pola grawitacyjnego. Wywnioskować z tego możemy, że punkt poruszając się w stronę środka Ziemi będzie poruszał się ruchem opóźnionym, a po minięciu środka Ziemi będzie poruszał się ruchem przyspieszonym. Zmiana przyspieszenia w zależności od odległości od środka Ziemi, który w naszym przypadku jest punktem równowagi oznacza, że mamy do czynienia z ruchem drgającym. 

Wiemy, że odległość punktu od ciała wynosi r oraz przyjmujemy, że γ jest przyspieszeniem. Możemy zatem zapisać, że wzór na okres drgań będzie miał postać:

`T=2pisqrt(r/(gamma))` 

`T = 2pi sqrt(r/(4/3pi G rho r))` 

`T = sqrt( ((2pi)^2 r )/(4/3pi G rho r))` 

`T = sqrt((4pi^2 r)/(4/3 pi G rho r))` 

`T = sqrt((strike4 pi^strike2 striker)/((strike4)/3 strikepi G rho striker))` 

`T = sqrt(( pi )/(1/3 G rho ))` 

`T = sqrt((3 pi )/( G rho ))` 

 

`b)` 

UWAGA! Wskazówka o okresie obiegu Ziemi po orbicie jest błędnie sformułowana. Chodzi o okres obiegu ciała wyrzuconego poziomo nad tunelem poruszającego się z pierwszą prędkość kosmiczną. Możemy zatem skorzystać z wzoru na pierwszą prędkość kosmiczną:

`v_I = sqrt( (G*M_Z)/(R_Z) )` 

Wiemy, że prędkość kosmiczna jest prędkością liniową, możemy zatem zapisać wzór na zależność prędkości liniowej od prędkości kątowej:

`v=omega*r` 

Gdzie prędkość kątową możemy wyrazić, jako:

`omega = (2 pi)/T` 

oraz r=RZ. Otrzymujemy wówczas, że:

`v=(2pi)/T*R_Z`  

Porównajmy teraz obie zależności:

`v=v_I`  

`(2pi)/T *R_Z = sqrt((G*M_Z)/(R_Z))\ \ \ \ \ |:R_Z` 

`(2pi)/T = (sqrt((G*M_Z)/(R_Z)))/R_Z` 

Wymnażamy na krzyż:

`T*sqrt((G*M_Z)/(R_Z)) = 2piR_Z \ \ \ \ \ |:sqrt((G*M_Z)/(R_Z)) ` 

`T = (2piR_Z)/ (sqrt((G*M_Z)/(R_Z))) ` 

`T = sqrt((2 pi R_Z)^2/((G*M_Z)/(R_Z)))` 

`T = sqrt((4 pi^2 R_Z^2)/((G*M_Z)/(R_Z))) ` 

`T = sqrt((4 pi^2 R_Z^3)/(G*M_Z)`   

Wiemy, że gęstość Ziemi możemy wyrazic jako:

`rho = M_Z/V` 

Wówczas widzimy, że masę Ziemi możemy wyrazic jako:

`M_Z= rho *V` 

Zakładamy, że Ziemia jest kulą. Możemy zatem zapisać, że:

`M_Z = rho *4/3piR_Z^3` 

Wówczas wzór na okres przyjmie postać:

`T = sqrt( (4pi^2R_Z^3)/(G*rho*4/3piR_Z^3) )` 

`T = sqrt( (strike4 pi^strike2 strike(R_Z^3))/(G*rho*(strike4)/3 strikepi strike(R_Z^3)) )` 

`T = sqrt ((pi)/(1/3 G*rho))` 

`T = sqrt((3pi)/(G* rho)) ` 

Widzimy, że okres obiegu punktu po orbicie Ziemi jest równoważny okresowi drgań ciała wpuszczonego do tunelu. Oznacza to, że ciała spotkają się u wylotu tunelu.