$a)$  

Wiemy, że siła wyporu działającą na próbówkę będzie odpowiadała sile sprężystości powodującej drgania probówki. Możemy zatem zapisać, że:

${\overrightarrow{F}}_w={\overrightarrow{F}}_s$  

Wartość siły sprężystości możemy przedstawić jako:

$F_s=k\Delta x$  

gdzie k jest współczynnikiem sprężystości, a Δx jest zmianą położenia. Siłą wyporu będzie równoważona przez siłę ciężkości i w takim przypadku probówka będzie drgała, czyli:

$F_g=F_w$  

Wartość siły ciężkości przedstawiamy wzorem:

$F_g=mg$  

gdzie $m$  jest masą drgającego ciała, czyli probówki. 

Otrzymujemy wówczas, że:

$F_g=F_w$  

$F_g=F_s$  

$mg=k\Delta x\mid :k$  

$\frac{mg}{k}=\Delta x\mid :g$  

$\frac{m}{k}=\frac{\Delta x}{g}$  

Pierwiastkujemy:

$\sqrt{\frac{m}{k}}=\sqrt{\frac{\Delta x}{g}}\mid \cdot 2\pi$  

$2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{\Delta x}{g}}$  

W ten sposób otrzymaliśmy dwa równoważne wzory na okres w ruchu drgającym:

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\text{oraz}T=2\pi \sqrt{\frac{\Delta x}{g}}$    

Oznacza to, że drgania probówki są drganiami harmonicznymi.

 

$b)$  

W przypadku, gdy próbówka pływa w pionowej pozycji bez dodatkowego zanurzenia wiemy, że siła wyporu równoważy siłę grawitacji. Możemy zatem zapisać, że:

${\overrightarrow{F}}_w={\overrightarrow{F}}_g$  

$\rho gV=mg\mid :g$  

$\rho V=m$  

Teraz wiemy, że objętość możemy przedstawić jako:

$V=S\cdot l$  

gdzie S jest przekrojem probówki, l jest głębokością na jaką została zanurzona. Otrzymujemy wówczas, że:

$\rho Sl=m\mid :\left(\rho S\right)$  

$l=\frac{m}{\rho S}$    

Okres drgań obliczymy korzystając z wzoru:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$  

$T=2\pi \sqrt{\frac{\frac{m}{\rho S}}{g}}$  

$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho Sg}}$  

W zadaniu podane mamy, że:

$m=62g=0,062kg$  

$\rho ={10}^3\frac{kg}{m^3}=1000\frac{kg}{m^3}$  

$S=2c{m}^2=0,0002m^2$  

Przyjmujemy, że:

$g=9,81\frac{m}{s^2}$  

Podstawiamy dane liczbowe do wzoru na okres:

$T=2\pi \sqrt{\frac{0,062kg}{1000\frac{kg}{m^3}\cdot 0,0002m^2\cdot 9,81\frac{m}{s^2}}}=2\pi \sqrt{\frac{0,062kg}{1,962kg\cdot \frac{1}{s}}}=2\pi \sqrt{0,0316s^2}=2\cdot 3,14\cdot 0,17776s=$   

$=6,28\cdot 0,17776s=1,116s\approx 1,1s$  

 

$c)$  

Współczynnik sprężystości charakteryzuje właściwości sprężyste używanej sprężyny, np. miękka, twarda. Jest stałą określającą wielkość odkształcenia w stosunku do siły działające na ciała sprężyste.